Анализ сложных систем

Проблема эффективности технических систем является одной из основных. Она непосредственно связана с проблемами надёжности и экономичности.

Возрастание сложности технических систем приводит к снижению их надежности, следовательно, к уменьшению их эффективности.

Недостаточная надежность проектируемой или существующей технической системы может стать проблемой, для решения которой нужно выдвинуть альтернативные цели (например, отказ от производства системы или замена ее новой, более совершенной установкой; повышение надёжности существующей системы до требуемого уровня; улучшение условий эксплуатации существующей системы и т. д.).

На практике встречаются системы, для описания которых параллельное или последовательное соединение не годится. Рассмотрим в качестве примера систему, изображённую на рисунке 5.6.

Примером системы со сложным соединением элементов может быть дорожная сеть, соединение энергетических систем и др.

В системе, изображённой на рис. 5.6, отказ элемента А нарушает сразу два пути АС и АД. Таким образом, это соединение не является параллельным. Последовательным такое соединение назвать также нельзя: в случае отказа элемента С система остаётся работоспособной.

Для определения вероятности безотказной работы системы или надёжности функционирования системы используют несколько методов. Рассмотрим самый простой метод – метод прямого перебора. С помощью этого метода можно определить надёжность работы любого типа технических систем, он легко поддаётся проверке, и, главное, он позволяет рассмотреть влияние отказов элементов на работу системы, то есть на устойчивость функционирования системы. Недостатком данного метода является громоздкость и трудность в составлении универсальной программы для применения вычислительной техники.

Метод состоит в том, что рассматриваются все возможные способы появления отказов, т. е. не отказал ни один элемент, отказал один элемент, два и т. д.

При рассмотрении системы, изображённой на рисунке 4.6 предполагается, что в данном случае элементы системы имеют следующие вероятности безотказной работы:

Р (А) = 0,9; Р (В) = 0,8; Р (С) = 0,6; Р (Д) = 0,7.

Событие А определяется как событие, состоящее в том, что элемент А работает безотказно, тогда Ā – событие, состоящее в том, что элемент А отказал. Аналогично определяются события для всех остальных элементов. Затем вычисляется вероятность состояния системы для каждого способа появления отказа. Результаты всех вычислений записываются в таблицу 4.1.

Первая строка таблицы 4.1 заполняется следующим образом: вначале предполагается, что в системе не отказал ни один элемент, А ∩ В ∩ С ∩ Д, вероятность этого вычисляется по формуле:

Р ⁽⁰⁾ = Р (А) Р (В) Р (С) Р (Д) = 0,9×0,8×0,6×0,7 = 0,3024,

в графах «отметка о работоспособности» ставится знак «+», если система работоспособна, и знак «−», если неработоспособна.

Вторая строка таблицы 5.1 предполагает, что в системе отказал один элемент (элемент А), Ā ∩ В ∩ С ∩ Д, вероятность такого состояния системы:

Р ⁽¹⁾ = Р (Ā) Р (В) Р (С) Р (Д) = 0,1×0,8×0,7×0,6 = 0,0336, при Р (А) = 1 – Р (Ā),

где Р(Ā) и Р(А) – вероятности отказа и безотказной работы элемента А,

Остальные строчки таблицы 5.1 заполняются аналогично для отказа одного, двух, трёх и четырёх элементов системы.

Таблица 5.1

№	Число отказавших элементов	Событие, характеризующие состояние системы	Вероятность состояния системы	Отметка о работоспособности системы, изображённой на рис. 4.6
		∩ ∩ ∩	0,3024	+
		∩ ∩ ∩	0,0336	+
		∩ ∩ ∩	0,0756	+
		∩ ∩ ∩	0,1295	+
		∩ ∩ ∩	0,2016	+
		∩ ∩ ∩	0,0084	-
		∩ ∩	0,0144	+
		∩ ∩ ∩	0,0224	-
		∩ ∩ ∩	0,0324	+
		∩ ∩ ∩	0,0504	+
		∩ ∩ ∩	0,0864	-
		∩ ∩ ∩	0,0036	-
		∩ ∩ ∩	0,0096	-
		∩ ∩ ∩	0,0056	-
		∩ ∩ ∩	0,0216	-
		∩ ∩ ∩	0,0024	-
		∑	1,0000	0,8400

Таким образом, система со сложным соединением элементов (подсистем) имеет вероятность безотказной работы 0,84.

Оценивая устойчивость функционирования технической системы, необходимо знать ее поведение в будущем. Если бы системы и объекты были безотказны, то большинство проблем, связанных с безопасностью, исчезло бы. Но все объекты, изделия и системы невечны, поэтому необходимо знать срок их безотказной работы, чтобы исключить аварии, вызванные отказами.

Контрольные вопросы

1. Приведите пример системы со сложным соединением элементов.

2. С помощью какого метода анализируются системы со сложным соединением элементов?

3. Назовите преимущества и недостатки метода прямого перебора.

5.5 Расчёты структурной надёжности систем

Показатели надёжности ТС рассчитываются на основании предположения, что система и любой её элемент могут находиться только в одном из двух возможных состояний – работоспособном и неработоспособном, и отказы элементов независимы. Состояние системы (работоспособное или неработоспособное) определяется состоянием элементов и их сочетанием. Поэтому теоретически возможно свести расчет безотказности любой ТС к перебору всех возможных комбинаций состояний элементов, определению вероятности каждого из них и сложению вероятностей работоспособных состояний системы.

Такой метод (метод прямого перебора – см. п. 5.4) практически универсален и может использоваться при расчете любых ТС. Однако при большом количестве элементов системы n такой путь становится нереальным из-за большого объема вычислений (например, при n = 10 число возможных состояний системы составляет, = 1024, при n = 20 превышает , при n = 30 – более ). Поэтому на практике используют более эффективные и экономичные методы расчета, не связанные с большим объемом вычислений. Возможность применения таких методов связана со структурой ТС.

5.5.1 Системы типа “ m из n ”

Систему типа “ m из n” можно рассматривать как вариант системы с параллельным соединением элементов, отказ которой произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов (m < n).

Для расчёта надёжности систем типа “ m из n “ при сравнительно небольшом количестве элементов можно воспользоваться методом прямого перебора.

Например, рассматривается система “2 из 5”(рис. 5.7), которая работоспособна, если из пяти её элементов работают любые два, три, четыре или все пять (на схеме пунктиром обведены функционально необходимые два элемента, причем выделение элементов 1 и 2 произведено условно, в действительности все пять элементовравнозначны)

работоспособность такой системы определяется количеством работоспособных элементов. Все состояния системы “2 из 5“ занесены в таблице 5.2. (в таблице работоспособные состояния элемент и системы отмечены знаком “+“, неработоспособные - знаком “-“).

вероятность любого состояния ТС определяется по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей состояний, в которых пребывают элементы.

С учётом всех возможных состояний вероятность безотказной работы системы может быть найдена по теореме сложения вероятностей всех работоспособных сочетаний. Удобнее вычислить вероятность отказа системы, так как количество неработоспособных состояний меньше, чем работоспособных. Для этого суммируются вероятности неработоспособных состояний.

(5.13)

Тогда вероятность безотказной работы системы

(5.14)

Расчёт надёжности системы “ m из n “ может производиться комбинаторным методом при использовании биномиального распределения. Случайная величина называется биномиально распределенной с параметрами n и p, если возможные значения 0,1,…, n она принимает с вероятностями P (n, k), задаваемыми формулой:

(5.15)

где − биномиальный коэффициент, называемый “числом сочетаний по k из n “:

(5.16)

Так как для отказа системы “ m из n “ достаточно, чтобы количество работоспособных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = 0, 1,... (m -1):

(5.17)

Аналогичным образом можно вычислить вероятность безотказной работы как сумма (5.15) для k = m, m+ 1 ,..., n:

. (5.18)

Зная, что P + Q = 1, в расчётах следует выбирать ту из формул (5.17), (5.18), которая в данном случае содержит меньшее число слагаемых.

Для системы “2 из 5“ (рис. 5.7) по формуле (5.18) получается:

(5.19)

Вероятность отказа той же системы по (5.17) составит:

(5.20)

что дает такой же результат для вероятности безотказной работы.

Таблица состояний системы “2 из 5”

Таблица 5.2

№	Состояние элементов	Состояние	Вероятность
состояния						системы	состояния системы
	+	+	+	+	+	+
	+	+	+	+	-	+
	+	+	+	-	+	+
	+	+	-	+	+	+
	+	-	+	+	+	+
	-	+	+	+	+	+
	+	+	+	-	-	+
	+	+	-	+	-	+
	+	-	+	+	-	+
	-	+	+	+	-	+
	+	+	-	-	+	+
	+	-	+	-	+	+
	-	+	+	-	+	+
	+	-	-	+	+	+
	-	+	-	+	+	+
	-	-	+	+	+	+
	+	+	-	-	-	+
	+	-	+	-	-	+
	-	+	+	-	-	+
	+	-	-	-	+	+
	-	+	-	-	+	+
	-	-	-	+	+	+
	+	-	-	+	-	+
	-	+	-	+	-	+
	-	-	+	-	+	+
	-	-	+	+	-	+
	+	-	-	-	-	-
	-	+	-	-	-	-
	-	-	+	-	-	-
	-	-	-	+	-	-
	-	-	-	-	+	-
	-	-	-	-	-	-

В таблице 5.2 приведены формулы для расчёта вероятности безотказной работы систем типа “ m из n “ при m n 5

Таблица 5.2

Общее число элементов, n
m
	–
	–	–
	–	–	–
	–	–	–	–