Вопрос 16.1. Определение кольца, примеры. Кольцо многочленов над полемб НОД и НОК многочленов, алгоритм Евклида. Кольцо многочленов над полем как кольцо главных идеалов.

Опр. Кольцом R с операциями “+” и “*” наз. мн-во, удовлетворяющее следующим условиям:

· (R,+) - абелева группа

· (R,*) - полугруппа

· выполняется закон дистрибутивности (a+b)c=ac+bc

Опр. Если операция “*” коммутативна, то кольцо наз. коммутативным.

Опр. Если в (R,*) есть е, то R – кольцо с единицей.

Опр. Пусть R – кольцо. Элемент а, принадлежащий R, наз. обратимым, если а обратим в (R,*). Обозначение: R*- мн-во всех обратимых элементов кольца R.

Опр. Мн-во R* наз. мультипликативной группой кольца.

Опр. Делителем нуля в кольце R наз. элемент а R, а 0: существует b R, b 0, a*b=0.

Опр. Подкольцо I кольца R наз. идеалом, если для любогоi I и любого r R выполняется ir I, ri I.

Опр. Пусть R1…Rr – кольца. Пусть R – их декартово произведение, то есть это множество наборов R={(x1…xr): xi Ri}. На множестве этих наборов длины r определяются есттественным образом операции “+”, “-“,”*”. То есть (x1…xr)+(y1…yr)=(x1+y1…xr+yr),

(x1…xr)-(y1…yr)=(x1-y1…xr-yr), (x1…xr)*(y1…yr)=(x1*y1…xr*yr). Относительно определенных операций декартово произведение R так же является кольцом. Декартово произведение R, определенное подобным образом, наз. внешней (прямой) суммой колец R1…Rr.

Примеры колец:

· множество всех целых чисел;

· множество всех четных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу m;

· множество всех рациональных чисел;

· множество всех действительных чисел;

· множество всех комплексных чисел;

· множество всех многочленов от одного или нескольких переменных с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами;

· множество всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой;

· множество всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами;

· 1множество всех симметричных матриц порядка n с действительными элементами относительно сложения матриц и йорданова умножения a о b = ╫(ab + ba), где в правой части стоят обычные произведения матриц;

· множество всех векторов трехмерного пространства относительно обычного сложения и векторного умножения.

Опр. Многочлен f(x) P[x] наз. неприводимым над полем P (или неприводим в кольце P[x]), если deg f(x) >o и f(x) не имеет собственных делителей в кольце P[x].

Опр. Ненулевой многочлен со старшим коэффицентом, равным единице, наз. унитарным.

Опр. Любой многочлен f(x) P[x] степени n>0 можно представить в виде f(x)= , где - старший коэффициент f(x), - унитарные, неприводимые, попарно различные (то есть попарно взаимно простые) многочлены из P[x] и N. Данное представление многочлена наз. каноническим разложением над полем P.

Опр. Наибольшим общим делителем (НОД) многочленов ... P[x] наз. многочлен d(x) P[x] такой, что:

1) d(x) есть общий делитель многочленов ...

2) d(x) делиться на любой другой общий делитель этих многочленов

Опр. Наименьшим общим кратным (НОК) многочленов ... P[x]наз. многочлен k(x) P[x] такой, что:

1) k(x) есть общее кратное многочленов ...

2) если - любое общее кратное многочленов ... , то k(x)ô

Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух чисел.

Обозначим (a,b)= (, ). Тогда

1. =a= b+

2. =b= +

i. = +

k-2. = +

k-1. = +

k. = +

Производится деление и наблюдается последовательность b> >...> . Тогда на каком-то шаге последовательность должна оборваться. Пусть это произойдет на k-ом шаге и =0. Число d – последний неравный нулю остаток в алгоритме Евклида является НОД чисел a и b.