Построение плоскостей

Рассмотрим плоскость, пересекающую все три координатные оси и не проходящую через начало координат. Пусть плоскость задана своим общим уравнением Ax+By+Cz+D =0, где ни один из коэффициентов не равен нулю. Преобразуем это уравнение. Ax+By+Cz=-D. Поделим полученное равенство на –D и запишем его в виде: . Тогда, обозначив , приходим к уравнению . Это уравнение и называется уравнением плоскости в отрезках. Выясним геометрический смысл чисел a, b и c. Если положим y=z =0, то из уравнения x=a. Т.е. данному уравнению удовлетворяет точка с координатами (0; 0; 0). Следовательно, a – это длина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ox. Аналогично, можно показать, что b и c – длины отрезков, отсекаемых рассматриваемой плоскостью на осях Oy и Oz. Уравнением плоскости в отрезках удобно пользоваться для построения плоскостей. Примеры. Построить плоскость 2 x +3 y +6 z -6=0. Приведём это уравнение к уравнению плоскости в отрезках: . 2 x - y -4 z -4=0. Рассмотрим еще один способ построения плоскостей. Для построения плоскости достаточно найти три какие-либо её точки, не лежащие на одной прямой. Удобнее всего определять точки пересечения плоскости с осями координат. 2 x +5 z -10=0. Плоскость параллельна оси Oy. Найдём точки пересечения с осями Ox и Oz. Плоскость 3 x +2 y =0 проходит через ось Oz. 2z+5=0, z=-5/2.

Угол между плоскостями

Рассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2 y -3 z +4=0 и 2 x +3 y + z +8=0.

Date: 2016-08-30; view: 4302; Нарушение авторских прав