Квадратичная аппроксимация

Простейший случай основан на том факте, что функция, принимающая минимальное значение во внутренней точке интервала, должна быть по крайней мере квадратичной.

Если целевая функция W(x) в точках x₁, x₂, x₃ принимает соответствующие значения W₁, W₂, W₃, то можно определить коэффициенты a_о, a₁, a₂ таким образом, что значения квадратичной функции

q(x) = a_o + a₁(x-x₁) + a₂(x-x₁)(x-x₂)

совпадут со значением W(x) в трех указанных точках. Вычислим q(x) в трех указанных точках.

W1 = W(x1) = q(x1) = ao	Þ ao = W1
W2 = W(x2) = q(x2) = W1 + a1(x2 - x1)	Þ a1 =(W2 - W1)/(x2 - x1)
W3 =q(x3) = W1 + [(W2 - W1) (x3 - x1)]/ /(x2 - x1) + a2(x3 - x1) (x3 - x2)	Þ a2 =
	Þ

Метод Пауэлла

Шаг 1. x₂ = x₁ + Dx.

Шаг 2. Вычислить W(x₁) и W(x₂).

Шаг 3.

· Если W(x₁) > W(x₂), то x₃ = x₁ + 2 Dx.

· Если W(x₁) £ W(x₂), то x₃ = x₁ - Dx.

W(x₁) > W(x₂),

Шаг 4. Вычислить W(x₃) и найти

Wmin = min{ W(x₁),W(x₂), W(x₃)},

Xmin = x_i, соответствующая Wmin.

Шаг 5. По x₁, x₂, x₃ вычислить x^*, используя формулу для оценивания с помощью квадратической аппроксимации.

Шаг 6. Проверка окончания

1. Если |Wmin - W(x^*)| < e_W, то закончить поиск. В противном случае к шагу 7.

2. Если |Xmin - x^*| < e_x, то закончить поиск. В противном случае к шагу 7.

Шаг 7. Выбрать Xmin или x^* и две точки по обе стороны от нее. Обозначить в естественном порядке и перейти к шагу 4.