Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная логарифмической функции.
Покажем сначала, что логарифмическая функция дифференцируема в каждой точке. Графики функций y=logax и у = аx симметричны относительно прямой у=х. Так как показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке. А это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения. Докажем теперь, что производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле (1)
По основному логарифмическому тождеству х = еln х при всех положительных х, т. е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция (определенная на R+). Поэтому производные х и еln x равны, т. е. x' = (eln x)' (2)
Известно, что х' = 1. Производную правой части вычисляем по правилу нахождения производной сложной функции и теореме 1: (еln x)'= еln х ln' x=x ln' x. Подставляя найденные производные в равенство (2), находим l = х ln' х, откуда . Формула (1) показывает, что для функции на промежутке(0; ∞) любая первообразная может быть записана в виде ln x + С. Функция имеет первообразную и на промежутке (—∞; 0), это функция ln(—x). Действительно, Так как |x| = х при х>0 и |x| = —х при х<0, мы доказали, что на любом промежутке, не содержащем точку 0, первообразной для функции является функция ln |x|. Вопрос 40.
|