Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

СОДЕРЖАНИЕ

Введение..................................................................................................... 4

Общие методические указания............................................................... 4

1. Контрольная работа 1....................................................................... 12

2. Контрольная работа 2....................................................................... 19

3. Методические указания к выполнению контрольной

работы 1................................................................................................ 25

4. Методические указания к выполнению контрольной

работы 2................................................................................................ 56

Литература.............................................................................................. 87

Приложения............................................................................................ 88

ВВЕДЕНИЕ

Программа дисциплины «Математика» предусматривает изучение студентами первого курса основ аналитической геометрии и математического анализа. Настоящая методическая разработка содержит задания контрольных работ № 1 и № 2 и методические указания к их выполнению, где приведены образцы решения типовых задач по указанным разделам. В работе имеется справочный материал по основным теоретическим вопросам курса, а также по элементарной математике.

Обратите внимание на правила оформления работ.

Если контрольная работа возвращена на доработку, то необходимо исправить недочеты (в той же тетради) и сдать работу на повторную проверку.

По каждой контрольной работе со студентом проводится собеседование, после чего выставляется оценка: «зачтено» или «незачтено».

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ЗА ПЕРВЫЙ КУРС

Тема 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Понятие об определителях п-го порядка.

2. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса.

3. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Длина вектора. Угол между векторами. Расстояние между двумя точками. Проекция вектора на ось. Координаты векторов. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

4. Разложение вектора по системе векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и ранг системы векторов.

5. Матрицы. Ранг матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение.

6. Системы координат на прямой, плоскости, в пространстве. Основные задачи на метод координат (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении).

7. Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пересечение двух прямых.

8. Неравенства первой степени на плоскости и их геометрический смысл.

9. Канонические уравнения кривых второго порядка: окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

10. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости, его частные виды. Геометрический смысл неравенства и системы линейных неравенств в пространстве.

Тема 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Введение в математический анализ

11. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Область определения функции; способы ее задания. Графическое изображение функции. Основные сведения из классификации функций.

12. Числовые последовательности, их сходимость. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности (формулировка).

13. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Неопределенные выражения и способы их раскрытия (примеры). Сравнение бесконечно малых величин.

14. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных на замкнутых множествах.

Тема 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

15. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной; ее геометрический и механический смысл.

16. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

17. Производные высших порядков.

18. Дифференциал функции; его геометрический смысл. Свойства дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

19. Применение производной к вычислению пределов (правило Лопиталя).

20. Теоремы Ролля, Лагранжа. Применение производнойк исследованию функций. Экстремумы функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на интервале.

21. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба. Асимптоты кривой. Схема исследования функции и построение ее графика.

22. Приближенное решение уравнений: графическое отделение корней методом проб; метод хорд и касательных. Метод итераций.