Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Непрерывность функции





 

1. Односторонние пределы функции в точке.

 

· Правый предел: .

 

 

· Левый предел: .

 

 

2. Условия непрерывности функции в точке .

Функция f(x) непрерывна в точке , если она определена в точке и имеет конечные односторонние пределы в этой точке, причем справедливо равенство:

.

Если хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется, то точка разрыва функции.

3. Виды точек разрыва.

В точке разрыв 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в точке , но они либо не равны между собой, либо не равны значению функции в точке .

Причем, разрыв 1-го рода называется:

· неустранимым, если ;

· устранимым, если .

В точке разрыв 2-ого рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в не существует или равен бесконечности.

 

4. Свойства и графики основных элементарных функций.

К основным элементарным функциями относятся следующие функции:

· степенные: ;

например:

· показательные: ;

например: где ;

 

· логарифмические: ;

например: ;

 

· тригонометрические: ;

 

· обратные тригонометрические: .

 

Графики этих функций приведены в прил. 2.

Отметим, что все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.

5. Наиболее часто встречающиеся элементарные функции.

· Линейная функция задает прямую линию на плоскости. Ее график можно построить по двум любым выбранным точкам. В частности, линейная функция задает на плоскости прямую, параллельную оси .

· Квадратичная функция задает параболу. Вершина параболы находится в точке , . Ветви параболы направлены вверх, если , или вниз, если .

 

Задача. Исследовать на непрерывность функцию в области ее определения. Указать вид точек разрыва, если они имеются. Построить график.

 

Решение. а) Функция определена при и непрерывна на интервалах , и , так как задана на них основными элементарными функциями.

Исследуем функцию на непрерывность в точках и , где происходит смена аналитических выражений функции. Найдем в этих точках односторонние пределы функции.

При :

 

 

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то в точке разрыв второго рода.

При :

 

 

Так как односторонние пределы существуют, но не равны, то в точке имеется разрыв первого рода, неустранимый.

Строим график функции (рис. 2).

 

y

 

2,5

 

 

-1 0 1 3 4 x

-1

 

Рис. 2.

 

При строим график показательной функции , а при – график логарифмической функции (прил. 2).

При график функции – прямая . Ее удобно строить по двум точкам, например, (3;2,5) и (4;3), так как при , ; при , .

 

Ответ. Функция непрерывна во всех точках, кроме точки , где имеется разрыв второго рода, и точки , где имеется разрыв первого рода.

б)

 

Функция определена при и непрерывна на интервалах , , так как задана на них основными элементарными функциями. При – непрерывна как частное непрерывных функций, где знаменатель .

Исследуем на непрерывность в точках и , где происходит смена аналитических выражений для функции . Найдем в этих точках односторонние пределы функции.

 

При :

 

 

 

Так как в точке односторонние пределы равны, и они равны значению функции в этой точке , то функция непрерывна в точке (по определению).

 

При :

 

 

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то в точке имеется разрыв второго рода.

 

Строим график функции (рис. 3).

При графиком функции является график тригонометрической функции (прил. 2).

При график функции – прямая , параллельная оси .

При график функции – гипербола , смещенная на 2 единицы вправо по оси х: . График строится по нескольким точкам, взятым из указанного промежутка. Например, при , ; при , . Таким образом, получены точки графика (2,5;2) и (3;1).

Полезно учесть также, что

 

y

 

 

 

 

 

1

 

-

x

-1

 

Рис.3.

Ответ. Функция имеет разрыв второго рода в точке , в остальных точках функция непрерывна.

Date: 2016-07-25; view: 265; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию