Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Непрерывность функции
1. Односторонние пределы функции в точке.
· Правый предел: .
· Левый предел: .
2. Условия непрерывности функции в точке . Функция f(x) непрерывна в точке , если она определена в точке и имеет конечные односторонние пределы в этой точке, причем справедливо равенство: . Если хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется, то – точка разрыва функции. 3. Виды точек разрыва. В точке – разрыв 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в точке , но они либо не равны между собой, либо не равны значению функции в точке . Причем, разрыв 1-го рода называется: · неустранимым, если ; · устранимым, если . В точке – разрыв 2-ого рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в не существует или равен бесконечности.
4. Свойства и графики основных элементарных функций. К основным элементарным функциями относятся следующие функции: · степенные: ; например: · показательные: ; например: где ;
· логарифмические: ; например: ;
· тригонометрические: ;
· обратные тригонометрические: .
Графики этих функций приведены в прил. 2. Отметим, что все основные элементарные функции непрерывны в области их определения. 5. Наиболее часто встречающиеся элементарные функции. · Линейная функция задает прямую линию на плоскости. Ее график можно построить по двум любым выбранным точкам. В частности, линейная функция задает на плоскости прямую, параллельную оси . · Квадратичная функция задает параболу. Вершина параболы находится в точке , . Ветви параболы направлены вверх, если , или вниз, если .
Задача. Исследовать на непрерывность функцию в области ее определения. Указать вид точек разрыва, если они имеются. Построить график.
Решение. а) Функция определена при и непрерывна на интервалах , и , так как задана на них основными элементарными функциями. Исследуем функцию на непрерывность в точках и , где происходит смена аналитических выражений функции. Найдем в этих точках односторонние пределы функции. При :
Так как один из односторонних пределов бесконечен, то в точке разрыв второго рода. При :
Так как односторонние пределы существуют, но не равны, то в точке имеется разрыв первого рода, неустранимый. Строим график функции (рис. 2).
y
2,5
-1 0 1 3 4 x -1
Рис. 2.
При строим график показательной функции , а при – график логарифмической функции (прил. 2). При график функции – прямая . Ее удобно строить по двум точкам, например, (3;2,5) и (4;3), так как при , ; при , .
Ответ. Функция непрерывна во всех точках, кроме точки , где имеется разрыв второго рода, и точки , где имеется разрыв первого рода. б)
Функция определена при и непрерывна на интервалах , , так как задана на них основными элементарными функциями. При – непрерывна как частное непрерывных функций, где знаменатель . Исследуем на непрерывность в точках и , где происходит смена аналитических выражений для функции . Найдем в этих точках односторонние пределы функции.
При :
Так как в точке односторонние пределы равны, и они равны значению функции в этой точке , то функция непрерывна в точке (по определению).
При :
Так как один из односторонних пределов бесконечен, то в точке имеется разрыв второго рода.
Строим график функции (рис. 3). При графиком функции является график тригонометрической функции (прил. 2). При график функции – прямая , параллельная оси . При график функции – гипербола , смещенная на 2 единицы вправо по оси х: . График строится по нескольким точкам, взятым из указанного промежутка. Например, при , ; при , . Таким образом, получены точки графика (2,5;2) и (3;1). Полезно учесть также, что
y
1
- x -1
Рис.3. Ответ. Функция имеет разрыв второго рода в точке , в остальных точках функция непрерывна.
|