Согласно условию задачи будем иметь

Отсюда

Рассмотрим уравнение Разделяя переменные и интегрируя, получим . Или . Заметим, что . Учитывая начальные условия y (1)=2, находим искомую кривую .

Аналогично рассматривая , получим кривую .

Итак, через точку M (1,2) проходят две кривые , , удовлетворяющие условию задачи.

Задача 2. Пусть тело нагрето до температуры . Температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной . При этом полагаем, что < . Найти зависимость между изменяющейся температурой

T и временем охлаждения t.

Искомую зависимость обозначим через T=T(t). Скорость изменения температуры по закону Ньютона пропорциональна разности температур - . Тем самым имеем уравнение

= - k ( - ).

Так как с возрастанием времени t температура T уменьшается, поэтому справа выбран знак минус. Коэффициент пропорциональности k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы.

Итак, дифференциальное уравнение составлено для исследуемого физического процесса. Находим общее решение. Разделяя переменные и интегрируя, получим

, отсюда с учетом имеем

+С . Заметим, что С > 0. В процессе разделения переменных нам пришлось разделить обе части уравнения на - , то есть предположить, что - 0. Если же рассмотреть функцию , то она удовлетворяет полученному дифференциальному уравнению. Эта функция не может быть выделена при С > 0. Поэтому к общему решению надо еще приписать решение .Для того чтобы этого не делать, в данном случае можно снять ограничение на С. То есть, считать . В частности, при С = 0 получаем решение .

Итак, общее решение полученного уравнения +С , .

Используя начальное условие , находим . Подставляя, будем иметь закон охлаждения в виде следующей зависимости

+ .

Коэффициент пропорциональности k заранее известен. Если неизвестен, то определяют эмпирическим путем. Измеряют температуру T в некоторый момент времени t. Пусть при . Тогда из полученной зависимости находим

.

Заметим, что теоретически температура тела сравнивается с температурой окружающей среды лишь при .

Date: 2016-07-25; view: 331; Нарушение авторских прав