Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа!!!

Пусть из результатов нам известны числовые значения некоторой функции соответствующие числовым значениям Можно считать, что задана таблично:

Такие таблицы составляются и для некоторых аналитически заданных функций .

Довольно часто возникает потребность в вычислении промежуточных значений не имеющихся в таблице. Часто решается задача поиска аналитического вида функции, заданной таблично. При этом ищется такая функция, чтобы при она принимала значения

Довольно часто в качестве искомой функции берут многочлен степени, не превышающей такой, что Этот многочлен называют интерполирующим.

Решение этих задач составляет раздел вычислительной математики, назывемый интерполированием функций.

Интерполирующая функция Лагранжа.

Пусть мы имеем таблично заданную функцию. называют узлами интерполяции. И пусть есть интерполирующий многочлен вида:

где константы, подлежащие определению. Для их нахождения поочерёдно будем полагать требуя при этом, чтобы Мы получим

Подставляя найденные значения получим интерполяционную формулу Лагранжа:

Полагая в этой формуле мы всегда имеем и получим возможность оценки значений соответствующих значениям

Найденное выражение позволяет выполнить и оценку производной в некоторых точках.