Возрастание и убывание функций. Понятие об экстремуме!!!

Определение1. Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке (a,b), если для любых x₁, x₂ Î (a,b) большему из них соответствует и большее значение функции.

x₁ Î (a,b), x₂ Î (a,b), x₂>x₁ Þ f(x₂)>f(x₁)

Определение 2. Функция y=f(x) называется убывающей на (a,b), если для любых x₁, x₂ Î (a,b) большему x соответствует меньшее значение f(x).

x₁ Î (a,b), x₂ Î (a,b), x₂>x₁ Þ f(x₂)<f(x₁)

Из этих определений следует, что для возрастающих функции sign(Dy)=sign(Dx), в силу чего их отношение положительно:

Для убывающей функции sign(Dy)=-sign(Dx) Þ

Если функция на (a,b) переходит от возрастания к убыванию, или наоборот, ее называют колеблющейся на (a,b).

Значения x, при которых f(x) достигает своих наибольших или наименьших значений по сравнению с соседними, называют точками максимума и минимума.

Определение 3. x=x₀ -точка максимума f(x), а f(x₀) - максимум функции, если существует некоторая окрестность x₀ (т.е. x₀-d, x₀+d) такая, что значение функции в любойточке x₁ Î(x₀-d, x₀+d) будет меньше, чем ее значение в x₀, то есть меньше, чем максимум f(x₀)

f(x₀+Dx)<f(x₀) прилюбом |Dx|<d

Аналогично определяются точки максимума и минимума функции

f(x₀+Dx)>f(x₀) прилюбом |Dx|<d

Точки минимума и максимума объединяются под общим названием – точки экстремума (экстремальные точки), а минимум и максимум функции – экстремумы функции.

Экстремумы функции, определенные выше, часто называют строгими экстремумами, в отличие нестрогих.

f(x₀+Dx)£f(x₀) и f(x₀+Dx)³f(x₀)

Из определения вытекает, что вне d-окрестности x₀ значения f(x) могут быть любыми, по отношению к f(x₀).

Например за пределами (x₀-d, x₀+d), f(x+Dx)>f(x₀) – где x₀ - точка максимума, и аналогично f(x+Dx)<f(x₀), если x₀ - точка минимума f(x).

Таким образом понятия максимальной и минимальной функции носят локальный (местный) характер. Далее мы установим признаки возрастания и убывания функций и признаки экстремума функций, основанные на понятии производной.