Раскрытие неопределенности вида (0/0)при x®a и при x®¥. Правило Бернулли-Лопиталя!!!

1)Рассмотрим неопределенность (при x®a), требуется найти ,когда и . Примем f(a)=j(a)=0. Тогда f(x) и j (x) будут непрерывными в x=a. Предположим также, что f(x) иj (x) дифференцируемы вблизи x=a причем j¢ (a)¹0. В этом случае:

, (L - конечно или нет)

Доказательство. Применим к f(x) и j(x) теорему Коши на отрезке [x₀,a),где x₀Î окрестности a, в которой f и j непрерывны и дифференцируемы (может за исключением a). Тогда

В силу того, что f(a)=j (a)=0 Þ

, где cÎ(x₀,a)

Если теперь x₀®a, Þ и c®a, поэтому

Теперь, если положить x₀=x, c=x Þ

то есть в данном случае правило Бернулли-Лопиталя выполняется.

Примеры:

1. Неопределенность (x®¥). Докажем справедливость правила Бернулли-Лопиталя и в этом случае.

Итак требуется найти , если и .

Предположим, что для достаточно больших x (|x|>M) обе функции дифференцируемы, j¢ (x)¹0 и что существует(конечный или бесконечный) .

Докажем, что

Доказательство: Перейдем к новому аргументу . Тогда, x®¥ Þ u®0. Нетрудно видеть, что к отношению правило Бернулли-Лопиталя применимо: в окрестности u=0 f и j дифференцируемы, а и существует

Тогда, принимая правило Бернулли-Лопиталя, получим

Возвращаясь к x, получим:

Правило остается в силе при x®+¥ или x®-¥.

Пример. .

(Теорема Коши. Если f(x) и j(x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы в (a,b), при чем j¢(x)¹0 на (a,b), то отношение конечных приращений этих функций на отрезке [a,b] равно отношению их производных в некоторой точке, которая может быть не единственной:

)