Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Производные высших порядков.





Пусть задана любая дифференцируемая f(x). y¢=f¢(x) есть также функция x. Поэтому можно ставить вопрос об отыскании производной и от этой функции.

Определение. Производную от производной данной функции, если она существует, называют производной второго порядка или второй производной и обозначают символом y¢¢=f¢¢(x).

Таким образом (y¢)¢=y¢¢=f¢¢(x).

В связи с этим y¢=f¢(x) в дальнейшем будем называть производной первого порядка или первой производной.

Вторая производная имеет простой механический смысл. Если задан закон прямолинейного движения материальной точки S=f(t) Þ v=S¢=f¢(t)

- есть мгновенная скорость движения.

Вторая же производная от пути по времени, как производная от скорости, есть скорость изменения скорости движения, то есть ускорение

w =v¢=S¢¢=f¢¢(t).

Аналогично можно ввести производные более высоких порядков: y¢¢¢ - производная 3-го порядка, y(IV) - 4-го и так далее.

Вообще говоря производной порядка n+1 от f(x) называют производную от производной n -го порядка для f(x):

(y(n))¢=y(n+1)= f(n+1)(x)

В силу принятого определения производная m порядка от производной n порядка равна производной n+m порядка (при условии существования всех производных):

(y(n)) (m)=y(n+m)= f(n+m)(x)

Примеры.

1. y=ek×x Þ y(n)=knek×x

2. y=sin x, y¢=cos x=sin(x+p/2) Þ y¢¢=(sin(x+p/2))¢= sin(x+p/2+p/2) … y(n)=sin(x+p×n/2)

Аналогично, (cos x)(n)=cos(x+p×n/2)

3.

4. y=xn, nÎN, Þ y(n)=n!

При дифференцировании неявно заданных функций F(x,y) мы установили, что

=Ф(x,y)

Так как y¢¢=(y¢)¢ Þ y¢¢= Ф¢(x,y(x)),то есть нужно взять производную от Ф по x, считая y=y(x). В результате мы получим

y¢¢=y(x,y,y¢)=y(x,y,Ф(x,y))=y(x,y),

то есть опять y¢¢ будет функцией только x и y. Этот процесс, при условии существования всех производных, может быть продолжен.

 

Пусть теперь функция задана параметрически:

y=y(y), x=j(t) Þ

Так как y¢¢xx=(y¢xx, то вопрос сводится к отысканию производной по x от x=F(t), когда x=j(t), то есть опять от функции, заданной параметрически: Применяя правило вторично, получим

Для отыскания производных 3-го и более высших порядков поступают аналогично:

Date: 2016-07-05; view: 256; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию