Формула Тейлора для функций нескольких переменных.

Функции нескольких переменных.

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Пусть функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные всех порядков до включительно. Тогда в рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:

В других обозначениях:

(2)

Или (3)

Частный случай формулы (1) при a=b=0 называется формулой Маклорена.

Аналогичные формулы справедливы для функции трех и большего числа переменных.

Пример. Найти приращение, получаемое функцией при переходе от значений

к значениям

Решение. Искомое приращение можно найти, применяя формулу (2). Вычислим предварительно последовательные частные производные и их значения в данной точке (1; 2):

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Все дальнейшие производные тождественно равны нулю. Подставляя найденные результаты в формулу (2), получим:

Экстремумы.

Экстремумы функций двух переменных. Говорят, что функция Z=f(x,y) имеет максимум в точке , т.е. при , если для всех точек (х,у), достаточно близких к точке и отличных от неё. Говорят, что функция Z=f(x,y) имеет минимум в точке , т.е. при , если для всех точек (х,у), достаточно близких к точке и отличных от неё. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции. Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция Z=f(x,y) достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка от Z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует. Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функция Z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции f(x,y), т.е.
,
тогда при :
1) f(x,y) имеет максимум, если дискриминант и , где ;
2) f(x,y) имеет минимум, если дискриминант и ;
3) f(x,y) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ;
4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование)