Производные элементарных функций

(x ⁿ) ’ = n x ^{n - 1},(n - натуральное число);

(sin x) ’ = cos x; (cos x) ’ = - sin x;

Правило Лопиталя

Пусть при x a для функций f (x) и g (x), дифференцируемых в некоторой окрестности точки а, выполняются условия:

Эта теорема называется правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятсялибо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа: 0 / 0 и / .

При неопределённостях другого типа: – , ×0, 0 ⁰, ⁰, нужно проделать предварительно ряд тождественных преобразований, чтобы привести их к какой-то из двух неопределённостей: либо 0 / 0, либо / . После этого можно применять правило Лопиталя. Покажем некоторые из возможных преобразований указанных неопределённостей.

1)	– : пусть f (x) , g (x) , тогда данная неопределённость приводится к типу 0 / 0 следующим преобразованием:
2)	× 0: пусть f (x) , g (x) 0, тогда данная неопределённость приводится к типу 0 / 0 или / с помощью преобразований:
3)	остальные неопределённости приводятся к первым двум с помощьюлогарифмического преобразования:

Если после применения правила Лопиталя неопределённость типа 0 / 0 или / осталась, нужно применить его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату.Правило Лопиталя применимо и в случае, если x .