Урок 9. Стереометрия

Теория: Общие понятия. Углы. Проекции. Многогранные углы. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей. Многогранники. Призма, параллелепипед, пирамида. Цилиндр. Конус. Шар (сфера). Касательная плоскость шара, цилиндра и конуса. Телесные углы. Правильные многогранники. Симметрия. Симметрия плоских фигур. Подобие тел. Объёмы и поверхности тел.

Задачи: Стереометрия.

Общие понятия

Предмет стереометрии. Основная аксиома стереометрии. Плоскость.

Пучок плоскостей. Ось пучка плоскостей. Скрещивающиеся прямые.

Параллельные плоскости. Параллельные прямая и плоскость.

Стереометрия изучает геометрические свойства пространственных тел ифигур. Подобно тому, как в планиметрии основными понятиями являются точка и прямая, в стереометрии основными понятиями являются прямая и плоскость.

Основная аксиома стереометрии: Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость.

Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесчисленное множество плоскостей, образующих в этом случае пучок плоскостей. Прямая, через которую проходят все плоскости пучка, называется осью пучка. Через любую прямую и точку, лежащую вне этой прямой, можно провести одну и только одну плоскость. Через двепрямые не всегда можно провести плоскость. Если это невозможно, то эти прямые называются скрещивающимися.

П р и м е р. Горизонтальная прямая, проведенная на одной стене комнаты,

и вертикальная линия на противоположной стене являются

скрещивающимися прямыми.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, сколько бы их ни продолжать, но они не являются параллельными прямыми, так как не лежат в одной плоскости. Только параллельные прямые являются непересекающимися линиями, через которые можно провести плоскость. Разница между скрещивающимися и параллельными прямыми состоит в том, что параллельные прямые имеют одинаковое направление, а скрещивающиеся – нет. Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести одну и только одну плоскость.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть длина отрезкаAB, соединяющего ближайшие точки A и B (рис.69), расположенные на скрещивающихся прямых. Прямая AB перпендикулярна к обеим скрещивающимся прямым. Расстояние между двумя параллельными прямыми определяется, как и в планиметрии. Расстояние между пересекающимися прямыми считается равным нулю. Две плоскости либо пересекаются (по прямой), либо нет. Непересекающиеся плоскости называются параллельными плоскостями. Плоскость и прямая либо пересекаются (в одной точке), либо нет. В последнем случае мы говорим, что прямая и плоскость параллельны друг другу.