Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники

Вписанный в круг многоугольник.

Описанный около кругамногоугольник.

Описанный около многоугольника круг.

Вписанный в многоугольник круг.

Радиус вписанного в треугольник круга.

Радиус описанного около треугольника круга.
Правильный многоугольник.

Центр и апофема правильного многоугольника.
Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников.

Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности (рис.54). Описанным около круга называется многоугольник, стороны которого являются касательными к окружности

(рис.55).

Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника (рис.54), называется описанной около многоугольника; окружность, длякоторой стороны многоугольника являются касательными (рис.55), называется вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно.

Радиус r вписанного круга выражается через стороны a, b, c треугольника:

Радиус R описанного круга выражается формулой:

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба (квадрата). Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей. Около четырёхугольника можно описать круг, если сумма его противоположных углов равна 180º. Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника (квадрата). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей. Вокруг трапеции можно описать круг, если только она равнобочная.

Правильный многоугольник – это многоугольник с равными сторонами и углами.

На рис.56 показан правильный шестиугольник, а на рис.57 – правильный восьмиугольник. Правильный четырёхугольник – это квадрат; правильный треугольник – равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180º (n – 2) / n,где n – число его углов. Внутри правильного многоугольника существует точка O (рис. 56), равноудалённая от всех его вершин (OA = OB = OC = … = OF), которая называется центром правильного многоугольника. Центр правильногомногоугольника также равноудалён от всех его сторон (OP = OQ = OR = …). Отрезки OP, OQ, OR, … называются апофемами; отрезки OA, OB,OC, … – радиусы правильного многоугольника. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга - эторадиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема. Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников:

Для большинства правильных многоугольников невозможно выразить посредством алгебраической формулы соотношение между их сторонами и радиусами.

П р и м е р. Можно ли вырезать квадрат со стороной 30 см из круга

диаметром 40 см?

Р е ш е н и е. Наибольший квадрат, заключённый в круг, есть вписанный

квадрат. В соответствии с вышеприведенной формулой его

сторона равна:

Следовательно, квадрат со стороной 30 см невозможно вырезать

из круга диаметром 40 см.