Углы. Проекции. Многогранные углы

Углы между прямыми. Проекции точки и отрезка. Двугранный угол.

Линейный угол. Углы между плоскостями. Многогранный угол.

Углы. Угол между двумя пересекающимися прямыми измеряется так же, как и в планиметрии (так как через эти прямые можно провести плоскость). Угол между двумя параллельными прямыми принимается равным 0 или 180°. Угол между двумя скрещивающимися прямыми AB и CD (рис.70) определяется следующим образом: через любую точку O проводят лучи OM и ON так, что OM|| AB и ON || CD. Тогда угол между AB и CD принимается равным углу NOM.Другими словами, прямые AB и CD переносятся в новое положениепараллельно самим себе до пересечения. В частности, точка O может быть взята на одной из прямых AB или CD, которая в этом случае будет неподвижной.

Прямая AB, пересекающая плоскость P в точке O (рис.71), образует ряд углов (BOC, BOD, BOE) с различными прямыми OC, OD, OE, проведенными в плоскости P через точку O. Если прямая AB перпендикулярна двум из этихпрямых (например, OC и OE), то она перпендикулярна ко всем прямым,проведенным в этой плоскости через точку O. В этом случае прямая ABназывается перпендикулярной к плоскости Р, а плоскость P – перпендикулярной к прямой AB.

Проекции. Проекцией точки A на плоскость P называется основание Cперпендикуляра AC, опущенного из точки A на плоскость P. Проекцией отрезка AB на плоскость P является отрезок CD, концы которого являются проекциями точек A и B (рис.72). Можно спроектировать на плоскость не только прямую, но и любую кривую ABCDE (рис.73).

Длины l проекции CD и а отрезка АВ (рис.72) связаны соотношением:

Двугранный угол. Фигура, образованная двумя полуплоскостями Q и R, проходящими через одну и ту же прямую MN (рис.74), называется двугранным углом. Прямая MN называется ребром двугранного угла; полуплоскости Q и R – его гранями. Плоскость P, перпендикулярная к ребруMN, даёт в её пересечении с полуплоскостями Q и R угол AOB. Угол AOBназывается линейным углом двугранного угла. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Углы между плоскостями. Две плоскости называются перпендикулярными, если они образуют прямой угол. Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю. В общем случае угол между двумя плоскостями P и Q (рис.75) измеряется углом, образованным прямыми AB иCD, которые перпендикулярны к плоскостям P и Q соответственно.

Многогранный угол. Если через точку O (рис.76) провести множество плоскостей AOB, BOC, COD и т.д., которые последовательно пересекаются друг с другом по прямым OB, OC, OD и т.д. (последняя из них EOAпересекается с первой AOB по прямой OA), то мы получим фигуру, называемую многогранным углом. Точка O называется вершиной многогранного угла. Плоскости, образующие многогранный угол (AOB, BOC,COD, …, EOA), называются его гранями; прямые, по которым последовательно пересекаются грани (OA, OB, OC, …, OE) называются рёбрами многогранного угла. Углы AOB, BOC, COD, …, EOA называются его плоскими углами. Минимальное количество граней многогранного угла равно 3 (трёхгранный угол, рис.77).

Параллельные плоскости вырезают на рёбрах многогранного угла (рис.78) пропорциональные отрезки (OA:O a = OB:O b = OC:O c = …) и образуютподобные многоугольники (ABCD и abcd).