Площадь плоской фигуры

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции , двумя прямыми x=a и x=b и осью Ox (такую фигуру называют криволинейной трапецией, Рис. 3.2.) вычисляется по формуле

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций и двумя прямыми x=a и x=b (Рис. 3.3.), вычисляется по формуле

Рис. 3.2. Рис. 3.3.

Например.

Рис. 3.4.

Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), прямыми x=a, x=b и осью Ox, то площадь ее вычисляется по формуле

где пределы интегрирования находятся из уравнений a=x(t₁), b=x(t₂) (y(t) 0 на отрезке [ t₁, t₂ ]).

Эта формула применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра t от t₁ до t₂ должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).

Например.

Рис. 3.5.

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами , где и - полярные координаты, или площадь криволинейного сектора, ограниченного дугой графика функции , вычисляется по формуле

Например.

Рис. 3.6.

Длина дуги кривой

Если гладкая кривая задана уравнением y=f(x), то длина l ее дуги равна

где a и b - абсциссы концов дуги.

Если же кривая задана параметрическими уравнениями

то

Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями

Если задано полярное уравнение гладкой кривой то

Например.