Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие А может наступать только одновременно с одним из попарно несовместных событий Н ₁, Н ₂, ..., Н_n, образующих полную группу. Тогда вероятность события А определятся по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н ₁ )·Р(А/Н ₁ ) + Р(Н ₂ )·Р(A/H ₂ ) +...+ Р(Н_n)·Р(А/Н_n)

или

Р (А)= .

где события Н ₁, Н ₂,..., Н_n, - гипотезы, а Р (А / H_i) - условная вероятность наступления события А при наступлении i -ой гипотезы (i =1, 2,..., n).

Условная вероятность гипотезы Н_i; при условии того, что событие А произошло, определяется по формуле вероятности гиnотез или Байеса (она позволяет пересмотреть вероятности гипотез после наступления события А):

,

где P (A) определяется по формуле полной вероятности.

Пример 1. Путешественник двигался из пункта А ₀ в пункт А ₄. Равновероятным является выбор любого из трех путей в пункты А ₁, А ₂, А ₃ (рис. 1.1.5).

Рис. 1.1.5. Иллюстрация к примеру 1

Из пункта А ₁ в пункт А ₄ ведет один из четырех путей, из пункта А ₂ в пункт А ₄ – один из трех путей, из пункта А ₃ в пункт А ₄ – один из двух путей. Найти вероятность того, что путешественник, выбирая путь наугад, придет в пункт А ₄.

Решение. Выдвигаем три гипотезы:

Н ₁ - путешественник выбрал первую дорогу;

Н ₂ - выбрана вторая дорога;

Н ₃ - выбрана третья дорога.

Событие А – путешественник придет в пункт А ₄. Выбор любой из трех дорог равновозможен, поэтому

Р (Н ₁) = Р (Н ₂) = Р (Н ₃) =

Условные вероятности события А при наступлении одной из гипотез соответственно равны

Р (А / H ₁) = Р (А / H ₂) = ; Р (А / H ₃) = .

По формуле полной вероятности находим:

.

Пример 2. Прибор может работать в трех режимах: нормальном, форсированном и недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60% случаев работы прибора, форсированный – в 30% и недогруженный - в 10%. Надежность прибора для нормального режима равна 0,8, для форсированного - 0,5, для недогруженного - 0,9. Найти полную надежность прибора.

Решение.А – безотказная работа прибора (надежность).

Событие A может произойти одновременно с одним из следующих событий (гипотез):

Н ₁ – нормальный режим,

Н ₂ – форсированный режим,

Н ₃ – недогруженный режим.

Тогда

Р (Н ₁) = 0,6;

Р (Н ₂) = 0,3;

Р (Н ₃) = 0,1.

Р (А / H ₁) = 0,8;

Р (А / H ₂) = 0,5;

Р (А / H ₃) = 0,9.

По формуле полной вероятности

Р (А) = 0,6·0.8 + 0,3·0.5 + 0,1·0,9 = 0,72.

Пример 3. Путешественник пришел из пункта А ₀ в пункт А ₄ (рис.1.1.5). Найти вероятности того, что он двигался по первому и по третьему пути.

Решение. Вероятности гипотез до опыта

P (H ₁)= P (H ₂)= P (H ₃)= .

Условные вероятности события А:

P (A/H ₁) = ; P (A/H ₂) = ; P (A/H ₃) = .

Полная вероятность P (A)= . Применяя формулу Байеса, находим условные вероятности гипотез

;

;

.

Таким образом, если путешественник пришел в пункт А ₄, то наиболее вероятно, что он шел по третьему пути, т.к. возможностей ошибиться здесь меньше.

Пример 4. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 – с оптическим прицелом. Вероятность поразить мишень из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее, стрелок попал из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Решение. Гипотезы: Н ₁ – взята винтовка с оптическим прицелом. Н ₂ – без оптического прицела. Событие А – стрелок попал в мишень.

Вероятности гипотез до опыта:

Р (Н ₁)=0,4, Р (Н ₂)=0,6.

Условные вероятности события А:

Р (А / Н ₁)=0,95, Р (А / Н ₂)=0,8.

По формуле полной вероятности

Р (А)= 0,4·0,95+0,6·0,8=0,86.

Вероятности гипотез после опыта найдем по формуле Байеса:

;

.

Если стрелок поразил мишень, то вероятнее, что он стрелял из винтовки без оптического прицела, т.к. таких винтовок было больше.

Пример 5. Число грузовыхавтомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1, легковая – 0,2. К бензоколонке подъехала заправляться машина. Какова вероятность того, что это грузовая?

Решение. Событие А – заправляется любая машина.

Н ₁ – заправляется грузовая машина,

Р (Н ₁)=3/5=0,6;

Н ₂ – заправляется легковая,

Р (Н ₂)=2/5=0,4.

Р (А / Н ₁)=0,1,

Р (А / Н ₂)=0,2.

Условная вероятность первой гипотезы равна

.