Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Основные теоремы теории вероятностей. Условная вероятность





 

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие 1.Если А1, А2, ..., Аn - попарно несовместные события, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1 + А2 +... + An) = Р(А1) + Р(А2) +... + Р(Аn).

Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий А1, А2, ..., Аn,образующих полную группу, равна1:

Р(A1 + А2 +... + An)= Р(А1) + Р(А2) +... + Р(Аn) =1.

Следствие 3. События А и несовместны и образуют полную группу событий, поэтому

.

Отсюда

.

Пример 1. В урне 30 шаров, из них 10 – красных, 5 – синих, 15 – белых. Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Обозначим события: A – появление красного шара, В – появление синего шара.

Число всех исходов n=30, из них благоприятных событию А – десять, а событию В – пять, т.е. , . Нас интересует сумма несовместных событий A+В – появление либо красного, либо синего шара. По теореме сложения вероятностей .

Пример 2. Из полной колоды карт (52 карты) наугад вынимают три карты (без возврата). Найти вероятность того, что среди вынутых карт будет хотя бы один туз.

Решение. Обозначим события:

А – появление одного туза в 3 взятых картах;

В – появление двух тузов;

С – появление трех тузов;

D – среди вынутых карт нет тузов.

Нас интересует сумма несовместных событий (А+В+С) либо один, либо два, либо три туза (хотя бы один). состоит из равновозможных исходов, число которых равно числу способов взять 3 карты из 52, т.е. числу сочетаний . Исходы, благоприятные событиям А, В, С, соответственно равны

,

,

,

Следовательно,

, , .

Применяя теорему сложения вероятностей, получим

P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) = .

Вероятность события (А+В+С) можно было найти другим способом. Событие D (среди вынутых карт нет тузов) является противоположным событию (А+В+С), поэтому

P(A+B+C) = 1 – P(D),

P(D) = = = 0,783,

P(A+B+C) = 1 – 0,783 = 0,217.

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:



Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А × В).

Пример 3. Чему равна вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 2, либо 5?

Решение. Обозначим события:

А – двухзначное число кратно 2,

В – двухзначное число кратно 5.

Нас интересует сумма совместных событий (А+В) – появление числа, кратного либо 2, либо 5, либо обоим вместе.

Количество всех двухзначных чисел n=90, из них благоприятных событию А (число кратно 2) m(A)=45, событию В (число кратно 5) m(B) =18. События А и В имеют общие исходы, так как среди двухзначных чисел есть кратные 2 и 5 одновременно, таких чисел m(AB) = 9.

По теореме сложения вероятностей совместных событий имеем

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = .

Для следующих теорем введем понятие зависимых и независимых событий. Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого (в противном случае события зависимы).

Теорема 3.Вероятность nроизведения двух независимых событий равна nроизведению их вероятностей:

Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

Пример 4. Найти вероятность совместного появления «герба» при одновременном бросании двух монет.

Решение. Обозначим события:

А – появление «герба» на первой монете, В – появление «герба» на второй монете. Выпадение «герба» на одной из монет никак не влияет на вероятность его появления на другой, поэтому А и В независимые события,

P(A·B) = P(A)·P (B) = .

Следствие. Вероятность nроизведения n независимых событий А1, А2, ..., Аn равна nроизведению их вероятностей:

Р(А1·А2·...·Аn) = Р(A1)·Р(А2)·...· Р(Аn).

Условной вероятностью события А при наличии события В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается . Пусть события А и В определены в одном пространстве элементарных событий W, и . Тогда величина называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло. В формуле через обозначили число элементарных исходов, входящих в событие В, а через - число общих элементарных исходов в событиях А и В.

Пример 5.Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события:

А - выпадение герба на первой монете;

D - выпадение хотя бы одного герба;

Е - выпадение хотя бы одной цифры;

F - выпадение герба на второй монете.

Определить, зависимы или независимы пары событий:

а) A и E;

б) A и F;

в) D и E.

Решение.

а) А и Е: Р(Е)=3/4; Р(Е/А)=1/2; события зависимы;

б) А и F: Р(А)=1/2; Р(А/F)=1/2; события независимы;

в) D и Е: Р(D)=3/4; Р(D/Е)=2/3; события зависимы.

Теорема 4. Вероятность nроизведениядвух зависимых событий А и В равна nроизведению вероятности настуnления события А на условную вероятность события В nри условии, что событие А уже nроизошло:

Р(А·В)=Р(АР(В/А).

Следствие. Если события А и В независимы, то из теоремы 4 следует теорема 3.



Событие В не зависит от события А, если Р(В/А)=Р(В).

Теорему 4 можно обобщить на n событий.

Теорема 5.Вероятность произведения n зависимых событий А1, А2, ..., Аn равна произведению последовательных условных вероятностей:

Р(А1 × А2×...×Аn)=Р(А1Р(А2/А1)·...·Р(Аn/А1·А2·...·Аn-1).

Теорема 6. Вероятность наступления хотя бы одного из событий А1, А2, ..., Аn равна разности между единицей и вероятностью произведения отрицаний событий А1, А2,..., Аn:

Р(А)=1-Р( ) =

= 1-Р( P( )·…·Р( ).

Следствие 1. Вероятность наступления хотя бы одного из событий А1, А2, ..., Аn независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

Р(А)=1-Р( Р( )·...·Р( ).

Следствие 2. Если события А1, А2, ..., Аn независимы и имеют одинаковую вероятность появиться (Р(А1) = Р(А2) = …=Р(Аn) = р, Р( ) = 1-р = q), то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Р(А)=1-qn.

Пример 6. Студент знает 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что он ответит на три предложенные ему последовательно вопроса?

Решение. Обозначим события:

А – студент ответил на первый вопрос,

В – ответил на второй вопрос,

С – ответил на третий вопрос.

События А, В, С – зависимые, так как вероятность ответов на каждый последующий вопрос зависит от того, ответил или нет студент на предыдущие вопросы. По теореме умножения находим

P(A·B·C)=P(A) ·P(A/B) ·P(C/AB)= .

Правила (теоремы) сложения и умножения вероятностей редко применяют порознь, обычно они применяются вместе.

Пример 7. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Обозначим события:

А1 - попал первый стрелок,

А2 - попал второй стрелок.

Событие А (попал хотя бы один стрелок) представляет собой сумму двух совместных событий А = А1 + А2, вероятность которого равна

Р(А1 + А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1 · А2).

События А1 и А2 независимые, поэтому

Р(А1+А2)=Р(А1)+ Р(А2) – Р(А1Р(А2) = 0,7 + 0,6 – 0,7·0,6=0,88.

Пример 8. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень, вероятность попадания первого 0,8, а второго - 0,6. Найти вероятность следующих событий:1) событие А - оба попали; 2) событие В - попал один ; 3) событие С - попал хотя бы один.

Решение. Обозначим через А1, А2 события, обозначающие соответственно, что 1-й и 2-й стрелок попали в цель. По условию: Р(А1)=0,8; Р(А2)=0,6.

Событие A = A1·A2. Так как события A1 и A2 независимы

P(A) = P(A1·A2) = P(A1P(A2) = 0,8·0,6 = 0,48.

B = .

P(B) = 0,2·0,6+0,8·0,4 = 0,12+0,32 = 0,44.

- не попал ни один. .

P(C) = 1 – P( ) = 1 – 0,2·0,4 = 0,92.

 






Date: 2016-05-18; view: 294; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.014 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию