Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика (комбинаторный анализ) - раздел дискретной математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Например, сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды, состоящей из 36 карт, или сколькими способами можно составить очередь, состоящей из10 человек и т.д. Каждое правило в комбинаторике определяет способ построения некоторой конструкции, составленной из элементов исходного множества и называемой комбинацией. Основная цель комбинаторики состоит в подсчете количества комбинаций, которые можно составить из элементов исходного множества в соответствии с заданным правилом. Простейшими примерами комбинаторных конструкций являются перестановки, размещения и сочетания.

Рождение комбинаторики связано с работами Б. Паскаля и П. Ферма по поводу азартных игр, большой вклад внесли Лейбниц, Бернулли, Эйлер. В настоящее время интерес к комбинаторике связан с развитием компьютеров. Нас в комбинаторике будет интересовать возможность определения количественно различных подмножеств конечных множеств для вычисления вероятности классическим способом.

Для определения мощности множества, которое соответствует тому или иному событию, полезно разобраться с двумя правилами комбинаторики: правило произведения и правило суммы (иногда их называют принципами умножения и сложения соответственно).

Правило nроизведения: пусть из некоторого конечного множества

1-й объект можно выбрать k ₁ способами,

2-ой объект – k ₂ способами,

………………………………

n -ый объект - k_n способами. (1.1)

Тогда произвольный набор, перечисленных n объектов из данного множества можно выбрать k ₁, k ₂, …, k_n способами.

Пример 1. Сколько существует трехзначных чисел с разными цифрами?

Решение. В десятичной системе исчисления десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. На первом месте может стоять любая из девяти цифр (кроме нуля). На втором месте - любая из оставшихся 9 цифр, кроме выбранной. На последнем месте любая из оставшихся 8 цифр.

По правилу произведения 9·9·8 = 648 трёхзначных чисел имеют разные цифры.

Пример 2. Из пункта в пункт ведут 3 дороги, а из пункта в пункт – 4 дороги. Сколькими способами можно совершить поездку из в через ?

Решение. В пункте есть 3 способа выбора дороги в пункт , а в пункте есть 4 способа попасть в пункт . Согласно принципу умножения, существует 3×4=12 способов попасть из пункта в пункт .

Правило суммы: при выполнении условий (1.1), любой из объектов можно выбрать k ₁ +k ₂ +…+k_n способами.

Пример 3. Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих, 3 зеленых карандаша.

Решение. Один карандаш, по правилу суммы, можно выбрать 5+7+3=15 способами.

Пример 4. Пусть из города в город можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города в город ?

Решение. Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3=6 способов.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий различие принципов умножения и сложения.

Пример 5. В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколькими способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?

Решение. Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон – другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способами.

Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 3×2=6 способами.

Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.

Пример 6. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин. После чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?

Решение. Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор способами.

Пример 7. Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В данной задаче мы должны рассмотреть три случая: а) все письма рассылаются по разным адресам, б) все письма посылаются по одному адресу, в) только два письма посылаются по одному адресу. Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n ₁=6×5×4=120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n ₂=6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами, и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n ₃=3×6×5=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно

способами.

Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору наудачу k элементов из n. При этом элементы: а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений); б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).

1. Схема выбора без возвращений

Размещением из n элементов по k называют любой упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n - элементному множеству. Различные размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или составом.

Число размещений из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

(1.2)

где n!=1×2×3×…× n, 1!=1, 0!=1.

Пример 8. В соревнованиях участвует 10 человек, трое из них займут 1, 2, 3 место. Сколько существует различных вариантов?

Решение. В этом случае важен порядок распределения мест. Число различных вариантов равно

.

Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n. Число перестановок из n элементов обозначают P_n и вычисляют по формуле

(1.3)

Пример 9. Сколько существует способов расстановки 10 книг на полке?

Решение. Общее число способов расстановки определяется как число перестановок (1.3) из 10 элементов и равно Р ₁₀= 10! =3628 800.

Сочетанием из n элементов по k называется любой набор из k элементов, принадлежащих n - элементному множеству. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом.

Число сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

(1.4)

Справедливы тождества:

Пример 10. Сколько существует способов выбора трех человек из десяти.

Решение. В данном случае при выборе для нас важен только состав наборов по три человека, порядок выбора роли не играет, поэтому, в отличие от предыдущего примера, число способов выбора подсчитаем по формуле сочетаний (1.4)

.

2. Схема выбора с возвращениями