Числовые характеристики дискретной случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Но он не всегда известен. Существуют некоторые числовые характеристики, описывающие случайную величину суммарно. Прежде всего, это характеристики положения: математическое ожидание, медиана, мода; характеристики рассеяния: дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Математическим ожиданием случайной величины X называется ее среднее значение, вычисляемое по формуле: – для дискретной случайной величины. В случае, когда М [ Х ]надо обозначить одной буквой, будем писать М [ Х ]= m_x или М_х.

Модой М ₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

Медианой M _e случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.

.

Для дискретной случайной величины обычно медиана не определяется.

Рассмотрим свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой, т.е. M [ C ] = C;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M [ C × X ] = C × M [ X ];

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

М [ X × Y ]= M [ X ] ×M [ Y ];

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

М [ X + Y ] = M [ X ] + M [ Y ].

Свойства 3 и 4 обобщаются на случай нескольких случайных величин.

Знание математического ожидания случайной величины еще полностью не характеризует эту случайную величину. По этому числу нельзя еще судить ни о возможных значениях случайной величины, ни о том, как эти значения рассеяны вокруг математического ожидания.

Пример 3. Заданы две случайные величины X и Y (табл.1.2.7 и табл.1.2.8)

Таблица 1.2.7

Таблица 1.2.8

Найти их математические ожидания.

Решение.

M [ X ]= -0,01×0,5+ 0,01×0,5=0;

M [ Y ]=-100×0,5+100×0,5=0.

Как видно из примера, случайные величины имеют разные возможные значения, но одинаковые математические ожидания, причем случайная величина X имеет возможные значения близкие к M [ X ], а случайная величина Y - далекие. Здесь налицо малое и большое рассеяние возможных значений вокруг среднего. Для оценки величины рассеяния используют новую числовую характеристику - дисперсию дискретной случайной величины.

Дисnерсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D [ X ]= M [ X - M [ X ]]².

Дисперсию ДСВ вычисляют по формуле: .

Пример 4. Найти дисперсию случайной величины X,заданную следующим законом распределения (табл. 1.2.9):

Таблица 1.2.9

Решение.

M [ X ]= 1×0,3+ 2×0,5+ 5×0,2=2,3;

(x ₁ – M [ X ])²=(1-2,3)²=1,69;

(x ₂ – M [ X ])²=(2-2,3)²=0,09;

(x ₃– M [ X ])²=(5-2,3)²=7,29;

D [ X ]=1,69×0,3+0,09×0,5+7,29×0,2=2,01.

Более простая формула для вычисления дисперсии имеет вид:

D [ X ]= M [ X ²]-(M [ X ])².

Поясним ее применение на предыдущем примере. Для ее использования необходимо составить закон распределения случайной величины X ² (табл. 1.2.10).

Таблица 1.2.10

M [ X ²]= 1×0,3 + 4×0,5 + 25×0,2 = 7,3;

D [ X ]=7,3-(2,3)²=2,01.

Использование этой формулы существенно сокращает число арифметических действий.

Дисперсия D [ X ]кратко обозначается D_x. Рассмотрим свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D [ C ] = 0;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D [ C×X ] = C ²× D [ X ];

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D [ X + Y ] = D [ X ] + D [ Y ].

4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины, т.е. сдвиг возможных значений случайной величины не изменяет рассеяния:

D [ C + X ] = D [ X ].

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D [ X - Y ] = D [ X ] + D [ Y ].

Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Если это существенно в эксперименте, то используют другую числовую характеристику, среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии .

Кроме характеристик положения и рассеяния существует ряд других числовых характеристик распределения, например, моменты.