Интегрирование подстановкой (заменой переменной) в опред.интеграле

Пусть для вычисления интеграла J f(x) dx от непрерывной функции сделана подстановка х = ϕ(t).

Теорема … Если:

1.функция х =ϕ(t) и ее производная х' = ϕ'(t) непрерывны приt Є [а;β]

2.множеством значений функции x = ϕ (t) при t Є[с*,/?] является отрезок [а; β];

3.ϕ (а) = a и ϕ (β) = b,то

(x) dx = (ϕ(t)) * ϕ'(t) dt-эта Формула называется формулой замены переменной в опре­деленном интеграле.

Отметим, что:

1.при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2.часто вместо подстановки х = ϕ(t) применяют подстановку t = = g(х);

3.не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!

62. Интегрирование по частям

Теорема

Если функции и = и(х) и v = v (x) имеют непрерыв­ные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула

- -

эта Формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

63. Несобственные интегралы. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1 рода) Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию Если эта функция имеет предел то число называется значением несобственного интеграла первого рода а сам интеграл называется сходящимся (иными словами, интеграл сходится). Если же предела не существует (например, если при ), то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.

64. Несобственный интеграл. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл 2рода ) Функция может терпеть разрыв на левом конце отрезка , на правом конце или в некоторой внутренней точке с отрезка. Если функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= a, то несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел = мЕсли функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= b, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел = Если функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= , тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется = Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, если предел бесконечен или не существует вообще, то интеграл расходится. Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах.