Приложение определенного интеграла. Вычисление объема тела

1.Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений. Для вычисления объеам некоторого тела V по известным площадям сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка [a, b] прямой OX.

Считая элементарный объем , над отрезком объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания и высотой , получится , применяем формулу Ньютона – Лейбница, получим .

2.Вычисление объемов тел вращения. Для определения объема тела вращения вокруг оси OX. Тогда . объем тела вращения вокруг оси OY, если функция задана в виде , можно вычислить по формуле .

Если функция задана в виде и требуется определить объем тела вращения вокруг оси OY, формулу для вычисления объема получим следующим образом

имеем . Интегрируем и применяем формулу Ньютона – Лейбница, и получается .

68. Функции нескольких (двух) переменных. Основные понятия Переменная z (с областью изменения Z)называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре (х,у) из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z.. Множество М, в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции, а сами х,у – ее аргументами.

Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y). Переменная z (с областью изменения Z)называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М, если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных. Обозначения: z = f , z = z .

69.Предел функции двух переменных

Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестность точки – это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .
Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначается предел следующим образом:
или .

70. Неприрывность функции двух переменных.

Пусть функция z = f (x,y) определена в точке M₀(x₀y₀) и её окрестности.

Функция называется непрерывной в точке M₀(x₀y₀), если

Если функция f (x,y) непрерывна в точке M₀(x₀y₀), то

Поскольку

То есть, если функция f (x,y) непрерывна в точке M₀(x₀y₀), то бесконечно малым приращениям аргументов в этой области соответствует бесконечно малое приращение Δz функции z.

71. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных. Пусть на области D задана функция двух переменных z =f(х,у), M₀(x₀;y₀) - внутренняя точка области D, M(x₀+Δx;y+Δy) - "соседняя" с M₀ точка из D.

Если Δz представлено в виде: где A, B - постоянные (не зависящие от Δx, Δy), - расстояние между M и M₀, α(Δ x,Δy) - бесконечно малая при Δx 0, Δy 0; тогда функция z =f(х,у) называется дифференцируемой в точке M₀, а выражение называется полным дифференциалом функции z =f(х;у) в точке M₀.

Если z =f(х;у) дифференцируема в точке M₀, то

.