Приложение определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур

1.Фигура ограничена графиком функции, заданной в декартовой системе координат.

Если функция принимает только неотрицательные значения, то площадь под графиком функции на отрезке [a, b] может быть вычислена с помощью определенного интеграла , т.к. здесь можно увидеть и метод дифференциалов. Можно вычислять площадь по формуле S= .

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , а снизу графиком функции , то польуемсяя формулой

S= , так как .

2. Фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системе координат.

Если график функции задан в полярной системе координат, для того чтобы вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами и графиком функции в полярной системе координат, томожно использовать метод интегральных сумм, вычисляя площадь криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарных секторов, в которых график функции заменен дугой окружности . Можно использовать и метод дифференциалов: .

Заменяя элементарный криволинейный сектор, соответствующий центральному углу круговым сектором, имеем пропорцию . Отсюда . Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница, получается .

66. Приложение определенного интеграла. .Вычисление длины дуги плоской кривой.

Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции , дифференциал длины дуги можно вычислить по формуле

. Поэтому

Если гладкая дуга задана параметрически , то . Получается, .

Если дуга задана в полярной системе координат, то

.получается, у .