Асимптоты графика функции

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Вертикальной асимптотой графика функции y=f(x) называется вертикальная прямая , если lim (x→a) f(x)=∞ или lim (x→a+0) f(x)=∞, или lim (x→a-0) f(x)=∞.

Наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x→+∞ называется прямая y=kx+b, если выполнены два условия: 1) некоторый луч (a; +∞) целиком содержится в D(f); 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при x→+∞

Наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x→ - ∞ называется прямая y=kx+b, если выполнены два условия: 1) некоторый луч (-∞; a) целиком содержится в D(f); 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при x→ - ∞

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при k=0, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая y=c=const является горизонтальной асимптотой графика y=f(x) при x→+∞ или x→-∞, если или соответственно.

45. Общая схема исследования функции и построения графика
Исследование функции у = f (х) целесообразно вести в определенной последовательности.

Найти область определения функции.

Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на Которых f(х) > 0 или f(х) < 0).

Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего Ища.

Найти асимптоты графика функции.

Найти интервалы монотонности функции.

Найти экстремумы функции.

Найти инторвачы выпуклости и точки перегиба графика функ­ции.

На основании проведенного исследования построить график функ­ции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обя­зательной.