Первый замечательный предел. Второй замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содерж-х тригоном-е фун-и, часто используют предел = 1

называемый первым замеч-м пределом.Читается:предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Предел числовой послед-ти x_n=(1+1\n)ⁿ, nE N, имеет предел, равный е: lim(n-8)(1+1\n)ⁿ=e.

Если в рав-ве lim(n-8)(1+1\n)ⁿ=e положить 1\х=а(а-0 при х-8), оно запишется в виде: lim(a-0)(1+a)^1\a=e. Рав-ва lim(n-8)(1+1\n)ⁿ=e и lim(a-0)(1+a)^1\a=e наз-ся вторым замеч-м пределом. Они широко используются при вычислении пределов. Фун-я у=е^х наз-ся экспоненциальной,употреб-ся также обозначение e^x=exp(x)

Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных величин.

Если то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x0); это обозначается так: α~ß.Теор-а.Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них..Теорема.Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.Докажем теорему для двух функций. Пусть α→0, ß→0 при х→хо, причем α — б.м.ф. высшего порядка, чем ß, т. е. Тогда

Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х→0, tgx~х при х→0.Таблица эквив.величин:

1.Sinx~х при х→0; 2.tgx~х (х→0); 3.arcsinх ~ х (х→0); 4.arctgx~х (х→0); 5.1-cosx~x2/2 (х→0); 6.ех-1~х (х→0); 7.αх-1~х*ln(a) (х→0); 8.ln(1+х)~х (х→0); 9.loga(l+х)~х•logaе (х→0); 10.(1+х)k-1~k*х, k>0 (х→0);