Предел функции. Определения.Основные теоремы о пределах

Число А наз-ся пределом числовой фун-и y=f(x) в точке х₀, если для любой послед-ти допустимых значений аргумента x_n,nEN(x_n=x₀), сходящейся к x₀, послед-ть соотв-х значений фун-й f(x_n), n E N, сходится к числу А(т.е lim f(x_n)=A).

Число А наз-ся пределом фун-и в точке х₀, если для любого положит-го $ найдется такое полож-е число б, что для всех х=х₀, удовлет-х нерав-ву |x-x₀|<б, вып-ся нерав-во |f(x)-A|<$

Основные теоремы о пределах:

Теорема 1. Предел суммы(разности) двух фун-й равен сумме(разности) их пределов: lim(f(x)+_ф(x))=lim f(x)+_lim ф(х).

Следствие. Фун-я может иметь только один предел при х-х₀

Теорема 2.Предел произ-ния двух фун-й равен произведению их пределов: lim (f(x)*ф(x))=lim f(x)*lim ф(х)

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций.

14. Бесконечно большая функция. Бесконечно малые функции.Основные теоремы.

Фун-я y=f(x) наз-ся бесконечно большой при х-х₀, если для любого числа М>0 сущ-ет число б=б(М)>0, что для всех х,удовлет-щих нерав-ву 0<|x-x₀|<б, вып-ся нерав-во |f(x)>M, записывают lim f(x)=8 или f(x)-8 при х-х₀.

Фун-я y=f(x), заданная на всей числовой прямой,наз-ся бескончено большой при х-8,если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0,что при всех х, удовлет-щих нерав-ву |x|>N,вып-ся нерав-во |f(x)>M.

Фун-я y=f(x) наз-ся бесконечно малой при х-х₀, если lim f(x)=0.Бесконечно малые фун-и часто наз-ют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обоз-ют обчно греч-ми буквами a, b и.т.д. Примерами б.м.ф служат фун-и у=х² при х-0.

Теорема1. Алгебраич-я сумма конечного числа бесконечно малых фун-й есть бесконечно малая фун-я. Теорема2. Произведение ограниченной фун-и на бесконечно малую фун-ю есть фун-я бесконечно малая.Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой фун-и на фун-ю, имеющую отличный от нуля предел, есть фун-я бесконечно малая.Теорема4.Если фун-я а(х)-бесконечно малая (а=0), то фун-я 1\а(х) есть бесконечно большая фун-я и наоборот: если фун-я f(x)-бесконечно большая, то 1\f(x)-бесконечно малая.