Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Функция называется первообразной для аналитической функции , если . Если – первообразная для аналитической функции , то также будет первообразной для . До некоторой степени верно и обратное утверждение.

Утверждение. Если и – две первообразные для функции , аналитической в связной области (D), то , где С – постоянная величина.

Доказательство. Пусть . Тогда

,

то есть , . Согласно условиям Коши-Римана, это влечет , . Все это в совокупности означает, что , , то есть .

Таким образом, совокупность всех первообразных функции , аналитической в связной области (D), имеет вид , где – некоторая (фиксированная) первообразная для , а C – постоянная величина. Эта совокупность называется неопределенным интегралом функции и обозначается :

.

Известные нам свойства неопределенного интеграла переносятся и на этот случай. Справедлива хорошо знакомая таблица интегралов:

; ; ;

; .

Пусть функция аналитична в связной области (D). Рассмотрим функцию

,

где – фиксированная точка, а z – переменная величина, . Так как интеграл не зависит от линии, соединяющей точки и z (теорема 3), то функция определена корректно. Ее можно записать в виде

.

Теорема 8. Функция является первообразной для .

Доказательство. Придадим переменному z приращение Δ z. Тогда функция получит приращение , и

где t – некоторая точка отрезка, соединяющего точки z и . Отсюда

.

Теперь устремим Δ z к 0. Тогда и

,

что и означает .

Теорема 9. Пусть аналитична в односвязной области (D) и – первообразная для . Тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница

.

Доказательство. отличается от на постоянную величину: . Тогда

.

Учитывая, что , получим , откуда ; следовательно,

.

Пример. Вычислить , где , .

Решение. Функция является первообразной для функции . Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

Date: 2015-12-13; view: 412; Нарушение авторских прав