Связь между аналитическими и гармоническими функциями

Дважды дифференцируемая функция называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа

.

Пусть аналитична в некоторой области (D). Тогда, согласно условиям Коши-Римана, во всех точках этой области справедливы равенства

Предположим, что и дважды непрерывно дифференцируемы (этот факт будет обоснован ниже при рассмотрении формулы Коши для производных). Продифференцируем первое из этих равенств по х, а второе – по y:

Сложив эти равенства и учитывая равенство смешанных производных, приходим к тождеству

,

то есть функция оказывается гармонической. Аналогичным образом устанавливается гармоничность функции . Таким образом, составляющие аналитической функции являются гармоническими функциями.

Возникает естественный вопрос: следует ли из гармоничности функций и аналитичность функции ? Оказывается, нет; для этого необходимо и достаточно соблюдения условий Коши-Римана.