Нули функции

Число называется нулем функции , если .

Теорема 1. Пусть аналитична в точке . Следующие утверждения равносильны:

1) , где аналитична в точке и ;

2) разложение в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид

,

где ;

3) , однако .

Доказательство. . Пусть , . Так как , то разложение функции в ряд Тейлора по степеням имеет вид

, .

Тогда

.

. Пусть , .

Тогда

;

, ;

, ;

… … …

, ;

, .

. Пусть , . Тогда разложение в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид

.

Осталось в качестве взять функцию . Теорема доказана.

Число n, участвующее в теореме, называется порядком нуля (или кратностью нуля) . Нуль порядка 1 называют также простым нулем функции. (Можно договориться считать, что если , то является нулем порядка 0.)

Теорема 2. Пусть функции и аналитичны в точке и точка является нулем порядка m для и порядка n для , , . Тогда

а) является нулем порядка для функции ;

б) при условии точка является нулем порядка для функции

Доказательство. Согласно теореме 1, , , , .

а) и , что и доказывает часть а).

б) , при этом , что и доказывает часть б).

Пример. Найти нули функции и их порядок: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) . Видно, что у функции три нуля: , , . При этом имеет порядок 3, а и – простые нули.

б) Функция обращается в нуль (как и в случае функции действительного переменного) в точках , . Так как , , то все эти нули – простые.

в) Нулями функции являются нули сомножителей и . При этом является нулем порядка 2 для первого множителя и простым нулем для второго, следовательно, – нуль порядка 3 для . Точки , , , являются (простыми) нулями лишь для второго множителя, поэтому они являются простыми нулями и для .

г) .

Видно, что является нулем порядка 3 для функции . Других нулей для функции нет: лишь в случае .