Формула Коши для производных. Теорема Лиувилля

Если формально продифференцировать n раз равенство (3), то получится формула Коши для производных:

. (4)

Законность такой операции можно доказать, но мы это опускаем. Из формулы (4) следует, что если функция является аналитической, то ее производная также является аналитической. Иначе говоря, аналитическую функцию можно дифференцировать сколько угодно раз; в этом состоит существенное отличие картины от случая функции действительного переменного.

Из формулы (4) вытекает следующая

Теорема 6. Пусть аналитична в круге и пусть . Тогда

.

(Это и есть неравенство Коши для производных.)

Доказательство. Согласно формуле (4),

.

(Мы воспользовались тем, что равен длине линии (γ).)

Иначе говоря, производные функции в данной точке не могут расти очень быстро (по n).

Пример. Вычислить: а) ; б) .

Решение. а) Функция аналитична в круге , поэтому, согласно формуле Коши для производных,

.

Имеем:

.

Отсюда находим

.

б) В круг попадают две особые точки функции : и . Заключим каждую из них в контур, представляющий собой окружность радиуса 1 с центром в соответствующей точке: : и : . Тогда, согласно формуле (2´),

Функция аналитична в круге , поэтому, согласно формуле Коши для производных,

.

Имеем:

;

.

Отсюда находим

.

Функция аналитична в круге , поэтому, согласно интегральной формуле Коши,

.

Таким образом,

.

Справедливо следующее любопытное утверждение.

Теорема 7 (Лиувилль). Если функция аналитична во всей комплексной плоскости и ограничена, то – постоянная функция.

Доказательство. Пусть для любого . Тогда для любого , согласно неравенству Коши для ,

.

Правая часть стремится к 0 при . Однако не зависит от R; следовательно, последнее соотношение возможно лишь в случае . А это означает, что .