Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного

Пусть в области определена функция и (Γ) – некоторая ориентированная линия в (D) (ориентация линии означает, что определено направление движения вдоль линии). Разобьем дугу точками (соответствует А), , , …, (соответствует В) на n частей. Обозначим , . На каждом частичном участке линии возьмем по точке и рассмотрим сумму

,

называемую интегральной суммой. Если существует конечный предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения , то говорят, что функция интегрируема на линии , а сам предел называется интегралом от по линии и обозначается

или .

Отметим, что непрерывная функция является интегрируемой, если линия имеет конечную длину. Если и , то , и интеграл примет вид криволинейного интеграла второго рода:

. (1)

Для вычисления интеграла нужно воспользоваться заданием линии (Γ); обычно она задается в параметрической форме

,

где , – дифференцируемые функции. Тогда , , и интеграл сводится к определенному интегралу

Интеграл от функции комплексного переменного обладает обычными свойствами интеграла:

1) ;

2) ;

3) при изменении направления обхода интеграл меняет свой знак:

(это касается и замкнутой линии, то есть контура);

4) ,

где означает элемент длины линии: ; в случае параметрического задания ;

5) если для любого и l – длина дуги , то

.

Свойство 4) является следствием неравенства треугольника, а неравенство 5) – следствием неравенства 4) и того факта, что

.

Пример 1. Вычислить интеграл , где (Γ) – часть параболы , .

Решение. Пусть , тогда , ; следовательно,

Пример 2. Вычислить , где (Γ) – часть окружности , ; направление обхода взять от точки (2;0) до точки (–2;0).

Решение. Запишем уравнение окружности в показательной форме: . В случае полуокружности (Γ) действует ограничение . Тогда , и, следовательно,

Пример 3. Вычислить , где (Γ) – окружность радиуса R с центром в точке , n – целое число; направление обхода – против часовой стрелки.

Решение. Данную окружность можно описать уравнением , . Сделаем замену ; тогда , . Отсюда получим

.

Рассмотрим сначала случай . Интеграл равен

При имеем

.

Таким образом,

Это очень важный результат, имеющий большие последствия.