Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Ряд ЛоранаТеорема 8 (Лоран). Если функция аналитична в кольце . Тогда функция в этом кольце разлагается в ряд Лорана (8) при этом коэффициенты определяются по формуле , (9) где (Γ) – произвольный контур, заключенный между окружностями кольца и охватывающий меньшую окружность. Доказательство. Пусть z – произвольная точка кольца . Возьмем две окружности и с радиусами и в кольце так, чтобы (то есть чтобы точка z оказалась между окружностями и ). Функция аналитична в кольце, образованном окружностями и , и, согласно интегральной формуле Коши, . Рассмотрим каждый интеграл в отдельности. 1) Пусть . Тогда Отсюда получаем где . 2) Пусть . Тогда Отсюда получаем где . Теорема Лорана доказана (контур (Γ) в формулировке теоремы гомотопен окружностям и в доказательстве). Ряд (8), коэффициенты которого находятся по формуле (9), называется рядом Лорана функции . Ряд Лорана представляет собой сумму двух функциональных рядов: . Первое слагаемое, содержащее отрицательные степени , называется главной частью, а второе слагаемое, содержащее неотрицательные степени , – правильной частью ряда Лорана. Отметим некоторые свойства ряда Лорана. Свойство 1. Ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом множестве, содержащемся в кольце . Свойство 2. Ряд Лорана можно интегрировать почленно вдоль любой линии, лежащей внутри кольца . Свойство 3. Ряд Лорана можно дифференцировать почленно в кольце . Свойство 4. Разложение функции в ряд (8) в кольце является единственно возможным. Пример. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце: а) ; б) ; в) . Решение. Сначала представим функцию , являющуюся правильной дробью, в виде суммы простых дробей. Таким образом, .
|