Ряд Лорана

Теорема 8 (Лоран). Если функция аналитична в кольце . Тогда функция в этом кольце разлагается в ряд Лорана

(8)

при этом коэффициенты определяются по формуле

, (9)

где (Γ) – произвольный контур, заключенный между окружностями кольца и охватывающий меньшую окружность.

Доказательство. Пусть z – произвольная точка кольца . Возьмем две окружности и с радиусами и в кольце так, чтобы (то есть чтобы точка z оказалась между окружностями и ). Функция аналитична в кольце, образованном окружностями и , и, согласно интегральной формуле Коши,

.

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности.

1) Пусть . Тогда

Отсюда получаем

где

.

2) Пусть . Тогда

Отсюда получаем

где

.

Теорема Лорана доказана (контур (Γ) в формулировке теоремы гомотопен окружностям и в доказательстве).

Ряд (8), коэффициенты которого находятся по формуле (9), называется рядом Лорана функции .

Ряд Лорана представляет собой сумму двух функциональных рядов:

.

Первое слагаемое, содержащее отрицательные степени , называется главной частью, а второе слагаемое, содержащее неотрицательные степени , – правильной частью ряда Лорана.

Отметим некоторые свойства ряда Лорана.

Свойство 1. Ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом множестве, содержащемся в кольце .

Свойство 2. Ряд Лорана можно интегрировать почленно вдоль любой линии, лежащей внутри кольца .

Свойство 3. Ряд Лорана можно дифференцировать почленно в кольце .

Свойство 4. Разложение функции в ряд (8) в кольце является единственно возможным.

Пример. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце: а) ; б) ; в) .

Решение. Сначала представим функцию , являющуюся правильной дробью, в виде суммы простых дробей.

Таким образом, .