Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд

, (3)

где – коэффициенты (числа), а z – переменная величина.

Теорема 5 (Абель). Пусть дан степенной ряд (3). Тогда

а) если ряд (3) сходится в точке , то он будет абсолютно сходиться и в любой точке , удовлетворяющей неравенству , то есть расположенной к ближе, чем ;

б) если ряд (3) расходится в точке , то он будет расходиться и в любой точке , удовлетворяющей неравенству , то есть расположенной от дальше, чем .

Доказательство. а) Так как числовой ряд сходится, то его члены ограничены, то есть существует такое число , что для всех . Тогда

.

Так как , то ряд сходится и, по признаку сравнения, ряд сходится абсолютно. Отсюда следует абсолютная сходимость ряда .

б) Пусть ряд (3) расходится в точке и . Допустим, вопреки утверждению, что ряд сходится. Тогда, согласно уже доказанному пункту а), ряд (3) сходится в точке – противоречие. Следовательно, ряд расходится.

На самом деле в пункте а) теоремы 5 доказано больше: если ряд (3) сходится в точке , то он сходится абсолютно и равномерно в любом круге при условии (для доказательства достаточно вспомнить теорему 1 о мажоранте).

Область сходимости степенного ряда (3) есть непустое множество – ряд (3) сходится по крайней мере в точке . Обозначим . Согласно теореме Абеля, ряд (3) сходится в открытом круге радиуса R с центром в точке и расходится вне этого круга. Точки окружности могут принадлежать или не принадлежать области сходимости. Этот круг называется кругом сходимости, а R – радиусом сходимости степенного ряда.

Степенной ряд можно почленно интегрировать вдоль линии внутри круга сходимости. Ряд (3) можно также почленно дифференцировать внутри круга сходимости; при дифференцировании будет получаться степенной ряд, имеющий те же круг и радиус сходимости.