Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Геометрический смысл производной. Конформные отображенияПусть функция аналитична в точке , причем . Пусть в комплексной плоскости z задана гладкая линия (γ), определяемая системой уравнений , или, что то же самое, уравнением , , при этом , . (Гладкость линии (γ) означает, что в каждой точке линии можно провести касательную к ней; гладкость линии без самопересечений равносильна дифференцируемости функций и .) Под действием функции эта линия перейдет в гладкую линию (Γ) в плоскости , заданную уравнением , . Мы знаем, что комплексные числа и векторы отождествляются по определенному правилу. Вектор направлен по касательной к линии (γ) в точке в плоскости Oxy, а вектор – по касательной к линии (Γ) в точке в плоскости Ouv. Согласно правилу дифференцирования сложной функции, , откуда получаем , (7) . (8) Равенство (8) говорит о том, что направление вектора получается из направления вектора путем поворота последнего на угол , а равенство (7) – что длина вектора отличается от длины вектора в раз. Придадим переменному t в точке приращение Δ t. Тогда , . Отсюда , . В пределе при получим точное равенство. Полученный результат можно сформулировать следующим образом. Теорема 3. Пусть функция аналитична в точке и . Пусть в комплексной плоскости z задана гладкая линия (γ) уравнением , , , ; и эта линия под действием функции переходит в линию (Γ): , . Тогда угол наклона касательной к линии (Γ) в точке отличается от угла наклона касательной к линии (γ) в точке на величину (то есть касательная поворачивается на угол θ). Элемент линии (Γ) в точке отличается от соответствующего элемента линии (γ) в точке в раз. В этом и состоит геометрический смысл производной . Отметим еще следствие теоремы 3. Следствие. Пусть функция аналитична в точке и . В плоскости проведем окружность радиуса r с центром в точке . Тогда под действием функции эта окружность перейдет в замкнутую линию, близкую к окружности радиуса R с центром в точке ; при этом . В пределе при получим точное равенство. В плоскости Oxy через точку проведем две гладкие линии и , угол между которыми равен α (точнее говоря, α – угол между касательными к этим линиям в точке ). Тогда под действием функции эти линии перейдут в гладкие линии и , угол между которыми также будет равен α. Иначе говоря, дифференцируемая функция сохраняет углы между линиями. Отображения, сохраняющие углы между линиями, называются конформными. Таким образом, аналитическая функция является конформным отображением.
|