Геометрический смысл производной. Конформные отображения

Пусть функция аналитична в точке , причем . Пусть в комплексной плоскости z задана гладкая линия (γ), определяемая системой уравнений

,

или, что то же самое, уравнением , , при этом , . (Гладкость линии (γ) означает, что в каждой точке линии можно провести касательную к ней; гладкость линии без самопересечений равносильна дифференцируемости функций и .) Под действием функции эта линия перейдет в гладкую линию (Γ) в плоскости , заданную уравнением

, .

Мы знаем, что комплексные числа и векторы отождествляются по определенному правилу. Вектор направлен по касательной к линии (γ) в точке в плоскости Oxy, а вектор – по касательной к линии (Γ) в точке в плоскости Ouv. Согласно правилу дифференцирования сложной функции, , откуда получаем

, (7)

. (8)

Равенство (8) говорит о том, что направление вектора получается из направления вектора путем поворота последнего на угол , а равенство (7) – что длина вектора отличается от длины вектора в раз. Придадим переменному t в точке приращение Δ t. Тогда

,

.

Отсюда

,

.

В пределе при получим точное равенство.

Полученный результат можно сформулировать следующим образом.

Теорема 3. Пусть функция аналитична в точке и . Пусть в комплексной плоскости z задана гладкая линия (γ) уравнением , , , ; и эта линия под действием функции переходит в линию (Γ): , . Тогда угол наклона касательной к линии (Γ) в точке отличается от угла наклона касательной к линии (γ) в точке на величину (то есть касательная поворачивается на угол θ). Элемент линии (Γ) в точке отличается от соответствующего элемента линии (γ) в точке в раз.

В этом и состоит геометрический смысл производной . Отметим еще следствие теоремы 3.

Следствие. Пусть функция аналитична в точке и . В плоскости проведем окружность радиуса r с центром в точке . Тогда под действием функции эта окружность перейдет в замкнутую линию, близкую к окружности радиуса R с центром в точке ; при этом . В пределе при получим точное равенство.

В плоскости Oxy через точку проведем две гладкие линии и , угол между которыми равен α (точнее говоря, α – угол между касательными к этим линиям в точке ). Тогда под действием функции эти линии перейдут в гладкие линии и , угол между которыми также будет равен α. Иначе говоря, дифференцируемая функция сохраняет углы между линиями.

Отображения, сохраняющие углы между линиями, называются конформными. Таким образом, аналитическая функция является конформным отображением.

Date: 2015-12-13; view: 442; Нарушение авторских прав