Производная функции комплексного переменного

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменному z в этой точке приращение Δ z (достаточно малое, чтобы не вывести z за пределы области определения). Тогда функция получит приращение

.

Рассмотрим отношение . Устремим Δ z к нулю. Если существует конечный предел этого отношения при , то он называется производной функции в точке и обозначается :

.

Принято и другое обозначение производной: .

Существование производной у функции комплексного переменного является более жестким ограничением и влечет за собой большие последствия, чем в случае функции действительного переменного. Дело в том, что в случае функции действительного переменного стремление к числу возможно только слева или справа, в случае же функции комплексного переменного стремление к числу возможно по разным направлениям, и для любого направления предел отношения должен быть один и тот же.

Функция, имеющая производную в точке , должна быть непрерывной в этой точке. Действительно, при малых значениях Δ z

,

и правая часть стремится к 0 при .

Пусть определена в некоторой окрестности точки ; придадим переменному z в этой точке приращение Δ z. Предположим, что существует число такое, что приращение функции представимо в виде

, (1)

где – бесконечно малая величина при , то есть . В таком случае говорят, что функция дифференцируема в точке , а линейную (главную) часть приращения функции называют дифференциалом функции и обозначают :

.

Теорема 1. Функция дифференцируема в точке в том и только в том случае, если она имеет производную в этой точке, при этом .

Доказательство. Пусть дифференцируема в точке , то есть имеет место равенство (1). Разделим обе части (1) на Δ z:

.

Переходя к пределу при и учитывая, что , получим .

Обратно, пусть существует . Обозначим . Тогда , и это приводит к равенству , то есть дифференцируема в точке . Теорема доказана.

Таким образом, дифференцируемость функции и существование производной функции – равносильные требования. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием.

Пусть . Возникает вопрос: какие ограничения накладывает дифференцируемость функции на ее составляющие и ? Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 2. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , дифференцируема в этой точке в том и только в том случае, если в этой точке выполнены следующие равенства, называемые условиями Коши-Римана:

(2)

(Предполагается, что функции и дифференцируемы.)

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке , то есть справедливо равенство (1), и пусть . Тогда , , , где , таковы, что , . Равенство (1) принимает вид

, (3)

или

. (4)

Приравнивая действительные и мнимые части выражений, приходим к системе

(5)

Из этих равенств следует, что

поэтому получаем

(6)

откуда и следуют равенства (2).

Обратно, пусть справедливы равенства (2). Тогда справедливы (последовательно) равенства (6), (5), (4) и (3), а последнее из них и говорит о дифференцируемости . Теорема доказана.

Из доказательства теоремы 2 следует, что

.

Если функция дифференцируема в каждой точке области (D), то она называется дифференцируемой в области (D).

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки , то она называется аналитической в точке . Если функция является аналитической в каждой точке области (D), то она называется аналитической в области (D).

Для дифференцируемых функций комплексного переменного справедливы те же правила дифференцирования, что и в вещественном случае (при этом они выводятся так же):

; ;

;

;

(здесь С – постоянная величина). То же верно и для таблицы производных:

; ; ; ; .

В частности, справедлив аналог формулы Лагранжа.

Date: 2015-12-13; view: 570; Нарушение авторских прав