Функции комплексного переменного. Непрерывность функции

Пусть (D) – множество в комплексной плоскости и пусть задано правило f, по которому каждой точке поставлено в соответствие вполне определенное комплексное число . В таком случае говорят, что на множестве (D) задана функция . Так как при каждом является комплексным числом, то, обозначив , , получим разложение . Представив z в виде (или ), приходим к равенству . То есть, задать функцию комплексного переменного – это все равно что задать две действительные функции и от двух действительных переменных.

Очевидным образом вводятся понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного. Пусть функция определена в некоторой (возможно, проколотой) окрестности точки . Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа ε найдется положительное число δ, такое что для любого z, удовлетворяющего неравенству , , справедливо неравенство . При этом пишут . Можно дать другое, равносильное этому, определение. Число является пределом функции при , если для любой последовательности чисел , такой что и , справедливо равенство . Пусть , и , , . Тогда равенство равносильно системе равенств

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в этой точке, если . Непрерывность функции равносильна непрерывности ее составляющих и . Все свойства пределов и непрерывности функций действительного переменного, не связанные с неравенствами, переносятся и на функции комплексного переменного.

Отметим некоторые часто употребляемые функции комплексного переменного.

1. Степенная функция , .

2. Многочлен , где – коэффициенты многочлена.

3. Показательная функция . Для определения этой функции воспользуемся формулой Эйлера. Пусть , тогда

.

Это позволяет определить функцию равенством .

4. Рациональная функция , где , – многочлены степени m и n соответственно.

5. Дробно-линейная функция , где , при этом .

6. Для определения тригонометрических функций и заметим, что из формулы Эйлера следует система равенств

(второе равенство получается из первого путем замены φ на (– φ)). Образуем новую систему, равносильную этой, один раз складывая, другой раз вычитая эти равенства:

откуда получаем

Это позволяет по аналогии определить функции и :

, .

При этом сохраняются все тригонометрические тождества, известные из школьного курса. Очевидным образом определяются функции и :

, .

Все перечисленные функции непрерывны в области своего определения.

Пример. Найдите и функций: а) ; б) .

Решение. а) Согласно определению, ; следовательно, , .

б) Пусть . Тогда

отсюда получаем , .