Множества в комплексной плоскости

ε-окрестностью точки в комплексной плоскости называется открытый круг радиуса ε с центром в точке : . Если из этого круга выколоть центр (то есть убрать точку ), то получится проколотая ε -окрестность точки .

Множество в называется открытым, если оно наряду с каждой своей точкой содержит и некоторую ее ε -окрестность.

Точка называется граничной для множества М, если любая ε -окрестность точки z содержит как точки, принадлежащие М, так и точки, не принадлежащие М (при этом не важно, принадлежит ли сама точка z множеству М или нет).Совокупность всех граничных точек множества М называется границей М и обозначается . Множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Принято обозначать .

Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге конечного радиуса, то есть если существует положительное число а, такое что для любого .

Множество называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этом множестве; в противном случае множество называется несвязным.

Множество называется односвязным, если любой (замкнутый) контур в нем можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не покидая этого множества; в противном случае множество называется многосвязным.

Открытое связное множество в назовем (открытой) областью. Если М – область, то назовем замкнутой областью в .

Пусть задано правило, по которому каждому натуральному числу поставлено в соответствие комплексное число : . В таком случае говорят, что задана последовательность в плоскости . Число называется пределом последовательности , если , и при этом пишут . Если , , то равенство равносильно системе

Практически все свойства пределов последовательности в переносятся на случай (кроме связанных с неравенствами).