Р і ш е н н я. Розглянемо рух вантажу на ділянці , вважаючи вантаж матеріальною точкою

(1)

Підставимо значення сил і рівняння набере вигляд:

Оскільки сила опору пропорційна , робимо заміну змінної:

. (2)

Розділивши обидві частини рівняння на і враховуючи, що , маємо:

або (3)

Введемо позначення:

Тоді рівняння (3) можна записати у вигляді:

.

Розділимо змінні

і проінтегруємо це рівняння:

.

Сталу інтегрування визначимо за початковими умовами: коли . Це означає:

і з рівності знаходимо:

,

тоді

.

Потенціюємо рівняння:

.

Звідси знаходимо:

. (4)

Вважаючи в рівності (4) число і замінюючи та їх значеннями, знаходимо швидкість вантажу в точці :

.

Примітка. Якщо сила опору залежить від першого ступеня швидкості , то заміна змінної не робиться, і диференціальне рівняння руху вантажу матиме вигляд:

,

,

.

Введемо позначення:

,

і отримаємо

.

Розділимо змінні

і проінтегруємо рівняння:

.

Розглянемо рух вантажу на ділянці . Будемо вести відлік часу від моменту, коли вантаж знаходиться в точці , вважаючи у цей момент .

Тоді знайдена швидкість буде для руху на цій ділянці початковою швидкістю: .

На вантаж діють сили: сила тяжіння , нормальна реакція труби , сила тертя і змінна сила . Проведемо в точці осі і складемо диференціальне рівняння руху вантажу в проекції на вісь :

, (5)

де . Для визначення складемо диференціальне рівняння руху вантажу в проекції на вісь . Оскільки , маємо:

та .

Тоді

.

Рівняння матиме вигляд:

. (6)

Розділимо обидві частини рівняння на масу :

, .

Розділимо змінні і проінтегруємо рівняння:

.

Сталу інтегрування знайдемо за початковими умовами: коли :

.

При знайденому значенні рівняння матиме вигляд:

.

Знову розділимо змінні і проінтегруємо рівняння:

.

Сталу інтегрування знайдемо за початковими умовами: коли :

.

Остаточно закон руху вантажу матиме вигляд:

.

Відповідь: , де – в метрах, – в секундах.

Date: 2015-12-13; view: 300; Нарушение авторских прав