Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Уравнение касательнойРассмотрим случай касательной к овальной квадрике, (D = 0). 4∙(А Т∙ Q Т∙ В)² - 4∙(А Т∙ Q ∙ А)∙(В Т∙ Q ∙ В)=0 (А Т∙ Q Т∙ В)² - (А Т∙ Q ∙ А)∙(В Т∙ Q ∙ В)=0. Если точку А фиксировать, а точку В сделать переменной тогда уравнение касательной к квадрике, проведенной из точки А, будет следующим: (А Т ∙Q Т ∙ Х) ² - ( А Т ∙Q∙ А ) ∙ ( Х Т ∙Q∙ Х ) = 0 (**) Фактически это уравнение является квадратичной формой и в то же время уравнением прямой, то есть распадается на прямые. Проанализируем это уравнение для случая, когда точка А принадлежит квадрике и не принадлежит квадрике. · А КВП А Т∙ Q ∙ А = 0 (А Т∙ Q Т∙ Х)² = 0 - квадратичная форма (**) распалась на две совпавшие прямые. Т.о. А Т∙ Q ∙ Х =0 - уравнение касательной. · А КВП. (А Т∙ Q Т∙ Х)² - (А Т∙ Q ∙ А)∙(Х Т∙ Q ∙ Х) = 0 - ранг этой квадратичной формы не может равняться 3 потому, что это прямые, а значит квадратичная форма должна быть вырожденной. Так же ранг этой квадратичной формы не может быть равен 1. Докажем это от противного. Пусть ранг (**) равен 1, тогда она распадается на две совпавшие прямые (А Т∙ Q Т∙ Х)² - (А Т∙ Q ∙ А)∙(Х Т∙ Q ∙ Х) = (и ∙ Х)² Х Т∙ Q ∙ Х = ((А Т∙ Q Т∙ Х)² - (и ∙ Х)²)= ((А Т∙ Q Т∙ Х)- и ∙ Х) ((А Т∙ Q Т∙ Х)+ и ∙ Х) овальная квадрика Х Т∙ Q ∙ Х распалась на линейные множители, на прямые - это противоречие. Т.о. ранг (**) равен 2, т.е. это или две пересекающиеся прямые или две мнимые прямые пересекающиеся в одной действительной точке. Вывод: Если точка принадлежит квадрике, то через неё можно провести только одну касательную. Если точка не принадлежит квадрике, то касательных или две или ни одной. Определение: Точка называется внешней относительно квадрики, если через нее можно провести две касательных и внутренней, если касательных нет.
Лемма. Пусть дана овальная квадрика х1 ²+ х2 ² -х3 ²=0 и точка . Точка является внутренней точкой овальной квадрики тогда и только тогда, когда а1 ²+ а2 ² -а3 ² < 0 (если а1 ²+ а2 ² -а3 ² > 0 - внешней). Доказательство. (Самостоятельно). Задача. Дана квадрика 2 ∙ х1 ²+ х3 ²-2 ∙ х1 ∙ х2 -2 ∙ х1 ∙ х3 =0. Найти уравнения касательных к квадрике, проходящих через точки А , В . Решение. Матрица квадрики Q= . А Т∙ Q ∙ А =(1:8:5)∙ ∙ =(-11:-1:4)∙ =1 А КВП, Применим формулу (**) (А Т∙ Q Т∙ Х)² - (А Т∙ Q ∙ А)∙(Х Т∙ Q ∙ Х) = 0. А Т∙ Q ∙ Х =(1: 8: 5)∙ ∙ =(-11: -1: 4)∙ 11∙ х1+ х2 - 4∙ х3 (11∙ х1 + х2 - 4∙ х3 )² - 1∙(2∙ х1 ² + х3 ² - 2∙ х1 ∙ х2 - 2∙ х1 ∙ х3 ) = = 121∙ х1 ² + х2 ² + 16∙ х3 ² + 22∙ х1 ∙ х2 - 88∙ х1 ∙ х3 - 8∙ х2 ∙ х3 - 2∙ х1 ² - х3 ² + 2∙ х1 ∙ х2 + 2∙ х1 ∙ х3 = = 119∙ х1 ² + х2 ² + 15∙ х3 ² + 24∙ х1 ∙ х2 - 86∙ х1 ∙ х3 - 8∙ х2 ∙ х3 = = х2 ² +2∙ х2 ∙12∙ х1 -2∙ х2 ∙4∙ х3 + 144∙ х1 ² +16∙ х3 ² - 2∙12∙ х1 ∙4∙ х3 - 144∙ х1 ² -16∙ х3 ² +96∙ х1 ∙ х3 +119∙ х1 ² +15∙ х3 ² - 86∙ х1 ∙ х3 = = (х2 + 12∙ х1 -∙4∙ х3)² - 25∙ х1 ² - х3 ² + 10∙ х1 ∙ х3 = (х2 + 12∙ х1 -∙4∙ х3)² - (5∙ х1 - х3)² = = ((х2 + 12∙ х1 - 4∙ х3 ) - (5∙ х1 - х3 ))∙((х2 + 12∙ х1 - 4∙ х3 ) + (5∙ х1 - х3 ))= = (х2 + 12∙ х1 - 4∙ х3 - 5∙ х1 + х3 )∙(х2 + 12∙ х1 - 4∙ х3 + 5∙ х1 - х3 )= = (х2 +7∙ х1 - 3∙ х3 )∙(х2 +17∙ х1 - 5∙ х3) = (7∙ х1 + х2 - 3∙ х3 )∙(17∙ х1 + х2 - 5∙ х3) = 0. Т.о. касательные: 7∙ х1 + х2 - 3∙ х3 = 0 и 17∙ х1 + х2 - 5∙ х3 = 0. В Т∙ Q ∙ В =(18:13:6)∙ ∙ = (17:-18:-12) ∙ =0 В КВП. Уравнение касательной: В Т∙ Q ∙ Х = (18: 13: 6)∙ ∙ = 0 (17: -18: -12)∙ = 17∙ х1 - 18· х2 - 12∙ х3 = 0.
|