Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Полюс и поляра
|
|
Рассмотрим овальную квадрику Х Т ∙Q∙ Х = 0 и точки А и В не принадлежащие квадрике.
Пусть M и L точки пересечения квадрики и прямой (АВ).
Определение: Если (AB,ML)= - 1, то говорят что овальная квадрика гармонически разделяет пару АВ, или точки А и В гармонически сопряжены относительно овальной квадрики.
На прямой (АВ) рассмотрим репер R (A,B,M), тогда в этом репере и точки А 
, В 
, М 
и пусть точка L 
.
Если (AB,ML)= -1, тогда 
= -1 
α = 1 и β = -1, т.е. L 
.
Таким образом, М = А+В и L = А – В.
Значит, для точек пересечения прямой (АВ) с квадрикой 
.
Но 
являются корнями уравнения λ ²∙ а + 2∙ λ ∙ μ ∙ с + μ ²∙ b =0,
где а = А Т∙ Q ∙ А, b = В Т∙ Q ∙ В, с = А Т∙ Q ∙ В = В Т∙ Q ∙ А.
По теореме Виета сумма корней равна среднему коэффициенту, взятому с противоположным знаком: 
+ 
= - с 
с = 0 
А Т∙ Q ∙ В = В Т∙ Q ∙ А = 0 - условие гармонической сопряженности точек А и В относительно квадрики.
Фиксируем точку А 
КВП. Рассмотрим все прямые проходящие через эту точку в каждом случае будет своя точка В гармонически сопряженная с А относительно овальной квадрики. Сделаем точку В переменной, по условию гармонической сопряженности точек относительно овальной квадрики получим: А Т∙ Q ∙ Х = 0 - это уравнение I степени, то есть прямая, причем это прямая единственна. Эту прямую будем называть полярой точки А. Если точка А 
КВП, то уравнение А Т∙ Q ∙ Х = 0 определяет касательную к квадрике в точке А.
Определение: Полярой точки А называется прямая, состоящая из точек гармонически сопряженных с данной точкой относительно овальной квадрики.
Вывод: Полярой точки А является прямая, которая имеет уравнение: А Т∙ Q ∙ Х = 0 и
в случае А КВП является касательной к овальной квадрике,
в случае А КВП состоит из точек гармонически сопряженных с точкой А относительно овальной квадрики.
Определение: Уравнение А Т∙ Q ∙ Х = 0 называется уравнением поляры точки А относительно овальной квадрики.
Если уравнение прямой а ∙ Х =0, тогда λ ∙ а = А Т∙ Q (с точностью до пропорциональности).
λ ∙ а = А Т ∙Q 
λ ∙ а ∙Q -1 = А Т ∙Q∙Q -1 
μ ∙ А Т= а ∙Q -1 или μ ∙ А= Q -1 ∙ а Т
(Почему существует Q -1 и почему (Q -1)Т= Q -1 ?)
Вывод: Для любой прямой существует точка, для которой эта прямая является полярой относительно квадрики.
Определение: Точка, для которой данная прямая относительно овальной квадрики является полярой, называется полюсом прямой.
Свойства:
1. Если точка А внешняя по отношению к овальной квадрике, то ее поляра проходит через точки касания касательных проведенных из точка А к КВП.
Доказательство. Координаты точек касания Х1 и Х2 находятся из системы 
, первое уравнение это уравнение квадрики, второе уравнение это уравнение поляры, а значит это точки пересечения поляры и квадрики. □
2. Если точка и прямая инцидентны, то их поляра и полюс тоже инцидентны.
Доказательство. Пусть а – поляра точки А и В - полюс прямой b,
значит λ ∙ а = А Т∙ Q и μ ∙ В= Q -1 ∙ b Т. Докажем, что А 
b 
B 
a.
Уравнение прямой b ∙ Х = 0, тогда А b b ∙ А =0.
Найдем а ∙ В =(А Т∙ Q)∙(Q -1∙ b Т)= А Т∙(Q ∙ Q -1)∙ b Т =А Т∙Е∙ b Т =А Т∙ b Т=(b ∙ А)Т = 0 - это означает, что точка В лежит на прямой а. □
Замечание: Свойство 2 позволяет находить полюс прямой. Выбрав на данной прямой две любые точки и построив их поляры, точка их пересечения будет полюсом данной прямой.
Задача. Дана квадрика х1 ² - 2∙ х2 ² + 4∙ х2 ∙ х3 =0. Найти уравнение поляры для А 
и координаты полюса прямой b: х1 + х2– 2∙ х3 =0.
Решение. Q= 
Q -1 = 
λ ∙ а=А Т∙ Q =(1: 3:-1) ∙ =(1: -8: 6) х1 - 8∙ х2+ 6∙ х3 =0.
μ ∙ В= Q -1∙ b Т= 
∙ 
= 
В= 
.
Задача. Дана квадрика 2 ∙ х1 ² + х3 ² - 2 ∙ х1 ∙ х2 -2 ∙ х1 ∙ х3 =0. Найти уравнения касательных к квадрике из точки А 
.
Решение. Воспользуемся свойством (1). Q = 
. Найдем уравнение поляры.
λ ∙ а = А Т∙ Q =(1: 8: 5)∙ =(-11: -1: 4) 11∙ х1 + х2 - 4∙ х3 =0.
Найдем точки пересечения квадрики поляры.
D = 100–96 = 4 
и 
. 
и 
В 
и С 
- точки пересечения поляры и квадрики, тогда прямые (АВ) и (АС) будут касательными.
(АВ): 
=0 
- 7∙ х1 - х2 + 3∙ х3 =0.
(АС): 
=0 
17∙ х1 + х2 - 5∙ х3 =0.
Определение: Трехвершинник называется автополярным относительно овальной квадрики, если каждая его вершина является полюсом противоположной стороны.
Замечание: Автополярных трехвершинников может быть много.
Теорема. Для того чтобы уравнение овальной квадрики было каноническим необходимо и достаточно, чтобы Δ Е1Е2Е 3 был автополярным относительно данной квадрики.
Доказательство. Необходимость:
Дано q11 ∙ х1 ² + q22 ∙ х2 ² + q33 ∙ х3 ² = 0.
Доказать что Δ Е1Е2Е 3 автополярный трёхвершинник.
Достаточность: Найти матрицу Q, используя то, что точка Е1
является полюсом прямой (Е2Е 3) и т.д. (самостоятельно).
Определение: Четырехвершинник называется вписанным в овальную квадрику, если его вершины инцидентны квадрике.
Теорема. Если четырехвершинник вписан в овальную квадрику, тогда диагональный трехвершинник является автополярным относительно квадрики.
Доказательство. Пусть АВСD – четырёхвершинник вписанный в овальную квадрику и Δ PQR - диагональный трёхвершинник.
Докажем, что Р - полюс прямой (QR).
По гармоническим свойствам полного четырехвершинника гармоническими будут: (CB,PK)=(AD,PN)= -1, т.е. точки K и N гармонически сопряжены с точкой Р относительно овальной квадрики, а значит они принадлежат поляре точки Р. В тоже время точки K и N лежат на прямой (QR) 
(QR) - поляра точки Р. Для точек Q и R доказательство аналогично. □
Замечание: Эта теорема позволяет строить поляру точки если она не инцидентна овальной квадрике.
Date: 2015-12-12; view: 1505; Нарушение авторских прав