Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Однородные проективные координатыРассмотрим расширенную евклидову прямую. Пусть одна из базисных точек будет несобственной, например Е1∞. Так как на расширенной прямой только одна несобственная точка, то у всех остальных точек х2 ≠ 0. Возьмем базис в V2 следующим образом: ē = , ē2 = , тогда ē1 = .
Пусть М = х1 ∙ē1 + х2 ∙ē2, или = ∙ē1+1∙ē2 = ∙ +1∙ē2, но коэффициент 1 перед ē2 будет у всех векторов, кроме ē1, а значит все точки кроме Е1∞ определяются отношением . Если точку Е2 взять в качестве начала отсчета, а точку Е в качестве единицы, то на прямой получается аффинная система координат с базисным вектором ē1= и для построения точки достаточно знать аффинную координату х= . Единственная точка, у которой не может быть аффинной координаты - точка Е1∞. Задача. Найти аффинные координаты точек А , В , С Решение. А имеет аффинную координату хА= - ⅔, В имеет аффинную координату хВ= 0, С → хС= 2. Замечание: Если х - аффинная координата точки Х, тогда проективными координатами точки будут - . Точка Е1∞ - не имеет аффинных координат, т.к. её нет на аффинной прямой. Замечание: Несобственной точкой в репере может быть точка Е2∞, тогда аффинный репер будет состоять из точек Е1 (начало) и Е (единица), а аффинная координата будет х = . Определение: Проективный репер прямой, в котором одна из вершин является несобственной точкой называется однородным. (однородная проективная система координат). Определение: Аффинная система координат, связанная с однородной проективной системой координат называется неоднородной аффинной системой координат. Замечание: Если несобственной будет единичная точка Е, то репер не будет однородным.
Рассмотрим расширенную евклидову плоскость. Пусть две базисные точки будут несобственными, например Е1∞. и Е2∞. Если у точки плоскости координата х3 = 0, тогда точка лежит на прямой (Е1∞ Е2∞) которая является несобственной прямой, а значит и сама точка является несобственной. Рассмотрим точки, для которых х3 ≠ 0. Возьмем базис в V3 следующим образом: ē= , ē3= , тогда ē1= и ē2= . Пусть М - собственная точка = х1∙ē1+ х2∙ē2+ х3∙ē3, или = ∙ē1+ ∙ē2 + ē3 = ∙ + ∙ + ē3, но коэффициент 1 перед ē3 будет у всех точек плоскости, для которых х3 ≠ 0, а значит, такие точки определяются отношениями и . Если обозначить = х и = у, то получим = х ∙ē1 + у ∙ē2. Это означает, что х и у - аффинные координаты собственных точек на плоскости. Начало координат в точке Е3, оси ОХ и ОY - это прямые (Е1∞ Е3) и (Е2∞ Е3), единицы на осях - Е10 и Е20, базисные векторы ē1 = и ē2 = . Вывод: Любая собственная точка М на расширенной евклидовой плоскости будет иметь аффинные координаты - (х; у), где х = и у = . И наоборот, точка с аффинными координатами - (х; у) будет иметь проективные координаты - . Если точка несобственная - N∞ , то задать её можно только с помощью прямой на которой она лежит (т.к. каждая прямая имеет только одну несобственную точку). У всех несобственных точек х3= 0, вектор порождающий такую точку будет - = х1∙ē1+ х2∙ē2+ 0 ∙ē3 или = х1∙ē1+ х2∙ē2 - это направляющий вектор прямой, на которой лежит несобственная точка N∞.
Задача. Найти аффинные координаты точек А , В , С , D . Решение. Для А аффинные координаты будут (0,4;-0,6), для точки В - (-1; -3), для С - (2; 0). Точка D является несобственной, т.к. х3= 0, аффинных координат у этой точки нет. Тогда эту точку можно задать только с помощью прямой на которой она лежит. Направляющий вектор этой прямой будет - = 1 ∙ē1 - 3 ∙ē2. Задача. Найти проективные координаты точек А (4; -3), В (5; 0). Решение. А (4; -3) имеет проективные координаты . Точка В (5; 0) - . Задача. Найти координаты несобственной точки, лежащей на прямой т: 2 х + 7 у = 0. Решение. Направляющий вектор прямой будет (7; -2) проективные координаты точки М∞ . Замечание: Несобственными точками могут быть точки Е1∞ и Е3∞, тогда аффинные координаты будут - х = и у = . Или несобственными точками в репере могут быть точки - Е2∞ и Е3∞ (аффинные координаты определите самостоятельно). Определение: Проективный репер плоскости, в котором две из трёх вершин являются несобственными точками, называется однородным (однородная проективная система координат). Определение: Аффинная система координат, связанная с однородной проективной системой координат, называется неоднородной аффинной системой координат. Замечание: Если одной из несобственных точек будет единичная точка Е, то репер не будет однородным.
|