Взаимное расположение двух прямых

Рассмотрим две прямые заданные однородными уравнениями.

и: и₁ х₁+ и₂ х₂+ и₃ х₃ = 0 и v: v₁ х₁+ v₂ х₂+ v₃ х₃ =0.

Найдем общие точки. Для этого надо решить систему линейных уравнений:

.

Из курса алгебры известно, что число линейно-независимых решений однородной системы зависит от ранга матрицы системы и равно число неизвестных минус ранг матрицы.

Пусть r = rg , тогда r { 0, 1, 2}.

Случай r = 0 невозможен, так как хотя бы один коэффициент в каждом уравнении отличен от нуля.

Случай r = 1 означает, что строки матрицы пропорциональны, т.е. мы имеем одно и то же уравнение, что означает - прямые совпадают.

При r = 2, число линейно-независимых решений 3 – 2 = 1, т.е. одно линейно-независимое решение, которое дает одномерное линейное подпространство L₁ которое в свою очередь порождает Р₀ – проективную точку. Это означает, что прямые пересекаются в одной точке. Других вариантов нет.

Замечание: Тем самым мы доказали, что любые две различные прямые пересекаются в одной точке.

Замечание: Одним из решений однородной системы из двух уравнение от трёх неизвестных будет:

х₁= ; х₂= ; х₃= .

Вывод: Прямая на проективной плоскости (так же как и точка) определяется набором чисел - и₁ , и₂ , и₃, с точностью до пропорциональности, которые одновременно не обращаются в ноль.

Определение: Числа (и₁ : и₂: и₃) называются координатами прямой.