Построение точек по координатам на плоскости

Рассмотрим построение точек по координатам на примере.

Задача. На расширенной евклидовой плоскости построить точку М .

Решение. Пусть М₁, М₂, М₃ - проекции точки М на соответствующие координатные прямые.

Тогда проекция точки М - точка М₁ в R (Е₂ , Е₃ , Е₁₀) будет иметь координаты (-2: 4) или (-1: 2),

точка М₂ в R (Е₁ , Е₃ , Е₂₀) будет иметь координаты (1: 4),

точка М₃ в R (Е₁ , Е₂ , Е₃₀) будет иметь координаты (1: -2).

При построении проекций будем пользоваться построением точек на проективной прямой.

Восстановим базисы на каждой координатной прямой.

Например, на прямой (Е₁Е₂) - R (Е₁ , Е₂ , Е₃₀).

Берем произвольную точку О, на прямой на (ОЕ₃₀), выбираем произвольный вектор ē₃₀ – раскладываем его по векторам ē₁ и ∙ē₂ , которые лежат на прямых (ОЕ₁) и (ОЕ₂).

В этом базисе построим вектор = - ē₂ - 2 ∙ē₃,.

Точка М₁ лежит на прямой (Е₁Е₂) – продляем прямую, содержащую вектор до пересечения с прямой (Е₁Е₂).

Аналогично на прямой (Е₁Е₃) в репере R (Е₁ , Е₃ , Е₂₀), строим вектор = ē₁ + 4∙ ē₃ и точку М₂.

На прямой (Е₂Е₃) в репере R (Е₁ , Е₂ , Е₃₀) - = ē₁ - 2 ∙ē₂ и точку М₃.

Точка М = (Е₁М₁) ∩ (Е₂М₂) ∩ (Е₃М₃).