Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Проективный репер

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 43Следующая ⇒

Рассмотрим проективные прямую P1. и плоскость P2.

Определение: Упорядоченная система из трех различных точек Е1 , Е2 , Е - называется проективным репером на прямой P1.

Обозначение: R (Е1 , Е2 , Е) - проективный репер на прямой.

Определение: Упорядоченная система точек

Е1 , Е2, Е3 , Е, среди которых никакие три не лежат на одной прямой, называется проективным репером на плоскости.

Обозначение: R (Е1 , Е2 , Е3 , Е) - проективный репер на плоскости.

Названия: Е1 , Е2 , Е3 - вершины репера или базисные точки,

Е - единичная точка,

(Е1Е2), (Е1Е3), (Е2Е3) - координатные прямые.

Пусть R (Е1 , Е2 , Е) - проективный репер на прямой (на P2 все определяется аналогично). P1 порождается V2.

Пусть Е1, Е2, Е порождаются векторами - ē1, ē2, ē V2.

Замечание: Так как Е1 ≠Е2 ē1, ē2 – не коллинеарны, а значит они могут образовывать базис в V2. В дальнейшем будем считать ē1, ē2 – базисом V2. Аналогично для Р2 - векторы ē1, ē2, ē3 – линейно независимы (почему?), а значит могут быть базисом в V3.

Определение: Система векторов ē1, ē2, ē - называется согласованной, если ē1+ē2=ē (для Р2 - ē= ē1+ ē2+ē3).

Теорема. Всегда существует система векторов согласованная с данным репером.

Доказательство. Докажем для проективной прямой, для проективной плоскости доказывается по аналогии.

Точки Е1 , Е2 , Е порождаются векторами ē1 , ē2 , ē V2 они линейно зависимы такие, что α ∙ ē1 + β ∙ ē2 = ē. Но ē'1= α∙ ē1 - порождает точку Е1, а ē'2 =β∙ē2 - точку Е2 (аксиома 2). Тогда система ē'1, ē'2, ē – будет согласованной с данным репером. □

Замечание: Систем векторов согласованных с данным репером много.

Теорема. Пусть R (Е1 , Е2 , Е) репер на прямой, а ē1 , ē2 , ē и ā1 , ā2 , ā - две системы векторов, согласованные с данным репером, тогда λ ≠ 0, причем ā1= λ ∙ē1 , ā2= λ ∙ē2 , ā= λ ∙ē.

Доказательство. Так как вектора ē1 , ē2 , ē и ā1 , ā2 , ā порождают одинаковые точки по аксиоме 2 они коллинеарны, т.е. ā1= λ1∙ ē1 , ā2= λ2∙ ē2 , ā= λ∙ ē, но системы согласованны ē1+ ē2= ē и ā1+ ā2=ā λ1 ∙ē1+ λ2 ∙ē2= λ ∙ē λ1 ∙ē1+ λ2 ∙ē2= λ ∙ē |: λ≠0

ē= ∙ē1+ ∙ē2=ē1+ē2 =1 и =1

λ1=λ2 = λ ā1= λ ∙ē1 , ā2= λ ∙ē2 , ā= λ ∙ē.

Для проективной плоскости Р2 рассмотреть самостоятельно (по аналогии). □

Определение: Базисы ē1 , ē2 , ē3 и ā1 , ā2 , ā3, такие, что ēi=λ āi называются гомотетичными.

Координаты точки на прямой (плоскости)

Рассмотрим P1 и R (Е1 , Е2 , Е) - проективный репер на прямой

Пусть ē1 , ē2 , ē - согласованная система векторов и пусть точка М P1 порождается вектором .

Векторы ē1 , ē2 – базисные, тогда = х1 ∙ ē1+х2 ∙ ē2.

Определение: Набор чисел (х1 , х2 ) называется координатами точки в данном репере.

Вектор = λ ∙ =λ ∙х1∙ē1+ λ ∙х2∙ē2 - определяет ту же точку М.

Тогда, точка М определяется набором или (х1 , х2) или (λ ∙х1 , λ ∙х2).

Вывод: Координаты точки определены с точностью до постоянного множителя (до пропорциональности).

Обозначение: М (х1 : х2 ) или .

На проективной плоскости координаты определяются аналогично:

Обозначение: М (х1 : х2: х3) или .

Замечание: Числа х1 и х2 (для плоскости - х1, х2, х3) одновременно не обращаются в ноль(Почему?).

Координаты точек репера на прямой будут:

вершины - Е1 , Е2 , единичная точка - Е ,

на плоскости - Е1 (1: 0: 0), Е2 (0: 1: 0), Е3 (0: 0: 1), Е (1: 1: 1) (Обоснуйте).


⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒





Date: 2015-12-12; view: 2318; Нарушение авторских прав


mydocx.ru - 2015-2025 year. (0.009 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию