Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Проективный реперРассмотрим проективные прямую P1. и плоскость P2. Определение: Упорядоченная система из трех различных точек Е1 , Е2 , Е - называется проективным репером на прямой P1. Обозначение: R (Е1 , Е2 , Е) - проективный репер на прямой. Определение: Упорядоченная система точек Е1 , Е2, Е3 , Е, среди которых никакие три не лежат на одной прямой, называется проективным репером на плоскости. Обозначение: R (Е1 , Е2 , Е3 , Е) - проективный репер на плоскости. Названия: Е1 , Е2 , Е3 - вершины репера или базисные точки, Е - единичная точка, (Е1Е2), (Е1Е3), (Е2Е3) - координатные прямые. Пусть R (Е1 , Е2 , Е) - проективный репер на прямой (на P2 все определяется аналогично). P1 порождается V2. Пусть Е1, Е2, Е порождаются векторами - ē1, ē2, ē V2. Замечание: Так как Е1 ≠Е2 ē1, ē2 – не коллинеарны, а значит они могут образовывать базис в V2. В дальнейшем будем считать ē1, ē2 – базисом V2. Аналогично для Р2 - векторы ē1, ē2, ē3 – линейно независимы (почему?), а значит могут быть базисом в V3. Определение: Система векторов ē1, ē2, ē - называется согласованной, если ē1+ē2=ē (для Р2 - ē= ē1+ ē2+ē3). Теорема. Всегда существует система векторов согласованная с данным репером. Доказательство. Докажем для проективной прямой, для проективной плоскости доказывается по аналогии. Точки Е1 , Е2 , Е порождаются векторами ē1 , ē2 , ē V2 они линейно зависимы такие, что α ∙ ē1 + β ∙ ē2 = ē. Но ē'1= α∙ ē1 - порождает точку Е1, а ē'2 =β∙ē2 - точку Е2 (аксиома 2). Тогда система ē'1, ē'2, ē – будет согласованной с данным репером. □ Замечание: Систем векторов согласованных с данным репером много. Теорема. Пусть R (Е1 , Е2 , Е) репер на прямой, а ē1 , ē2 , ē и ā1 , ā2 , ā - две системы векторов, согласованные с данным репером, тогда λ ≠ 0, причем ā1= λ ∙ē1 , ā2= λ ∙ē2 , ā= λ ∙ē. Доказательство. Так как вектора ē1 , ē2 , ē и ā1 , ā2 , ā порождают одинаковые точки по аксиоме 2 они коллинеарны, т.е. ā1= λ1∙ ē1 , ā2= λ2∙ ē2 , ā= λ∙ ē, но системы согласованны ē1+ ē2= ē и ā1+ ā2=ā λ1 ∙ē1+ λ2 ∙ē2= λ ∙ē λ1 ∙ē1+ λ2 ∙ē2= λ ∙ē |: λ≠0 ē= ∙ē1+ ∙ē2=ē1+ē2 =1 и =1 λ1=λ2 = λ ā1= λ ∙ē1 , ā2= λ ∙ē2 , ā= λ ∙ē. Для проективной плоскости Р2 рассмотреть самостоятельно (по аналогии). □ Определение: Базисы ē1 , ē2 , ē3 и ā1 , ā2 , ā3, такие, что ēi=λ āi называются гомотетичными. Координаты точки на прямой (плоскости) Рассмотрим P1 и R (Е1 , Е2 , Е) - проективный репер на прямой Пусть ē1 , ē2 , ē - согласованная система векторов и пусть точка М P1 порождается вектором . Векторы ē1 , ē2 – базисные, тогда = х1 ∙ ē1+х2 ∙ ē2. Определение: Набор чисел (х1 , х2 ) называется координатами точки в данном репере. Вектор = λ ∙ =λ ∙х1∙ē1+ λ ∙х2∙ē2 - определяет ту же точку М. Тогда, точка М определяется набором или (х1 , х2) или (λ ∙х1 , λ ∙х2). Вывод: Координаты точки определены с точностью до постоянного множителя (до пропорциональности). Обозначение: М (х1 : х2 ) или . На проективной плоскости координаты определяются аналогично: Обозначение: М (х1 : х2: х3) или . Замечание: Числа х1 и х2 (для плоскости - х1, х2, х3) одновременно не обращаются в ноль(Почему?). Координаты точек репера на прямой будут: вершины - Е1 , Е2 , единичная точка - Е , на плоскости - Е1 (1: 0: 0), Е2 (0: 1: 0), Е3 (0: 0: 1), Е (1: 1: 1) (Обоснуйте).
|