Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Проективный репер
|
|
Рассмотрим проективные прямую P1. и плоскость P2.
Определение: Упорядоченная система из трех различных точек Е1 , Е2 , Е - называется проективным репером на прямой P1.
Обозначение: R (Е1 , Е2 , Е) - проективный репер на прямой.
Определение: Упорядоченная система точек
Е1 , Е2, Е3 , Е, среди которых никакие три не лежат на одной прямой, называется проективным репером на плоскости.
Обозначение: R (Е1 , Е2 , Е3 , Е) - проективный репер на плоскости.
Названия: Е1 , Е2 , Е3 - вершины репера или базисные точки,
Е - единичная точка,
(Е1Е2), (Е1Е3), (Е2Е3) - координатные прямые.
Пусть R (Е1 , Е2 , Е) - проективный репер на прямой (на P2 все определяется аналогично). P1 порождается V2.
Пусть Е1, Е2, Е порождаются векторами - ē1, ē2, ē 
V2.
Замечание: Так как Е1 ≠Е2 
ē1, ē2 – не коллинеарны, а значит они могут образовывать базис в V2. В дальнейшем будем считать ē1, ē2 – базисом V2. Аналогично для Р2 - векторы ē1, ē2, ē3 – линейно независимы (почему?), а значит могут быть базисом в V3.
Определение: Система векторов ē1, ē2, ē - называется согласованной, если ē1+ē2=ē (для Р2 - ē= ē1+ ē2+ē3).
Теорема. Всегда существует система векторов согласованная с данным репером.
Доказательство. Докажем для проективной прямой, для проективной плоскости доказывается по аналогии.
Точки Е1 , Е2 , Е порождаются векторами ē1 , ē2 , ē V2 
они линейно зависимы 
такие, что α ∙ ē1 + β ∙ ē2 = ē. Но ē'1= α∙ ē1 - порождает точку Е1, а ē'2 =β∙ē2 - точку Е2 (аксиома 2). Тогда система ē'1, ē'2, ē – будет согласованной с данным репером. □
Замечание: Систем векторов согласованных с данным репером много.
Теорема. Пусть R (Е1 , Е2 , Е) репер на прямой, а ē1 , ē2 , ē и ā1 , ā2 , ā - две системы векторов, согласованные с данным репером, тогда 
λ ≠ 0, причем ā1= λ ∙ē1 , ā2= λ ∙ē2 , ā= λ ∙ē.
Доказательство. Так как вектора ē1 , ē2 , ē и ā1 , ā2 , ā порождают одинаковые точки 
по аксиоме 2 они коллинеарны, т.е. ā1= λ1∙ ē1 , ā2= λ2∙ ē2 , ā= λ∙ ē, но системы согласованны 
ē1+ ē2= ē и ā1+ ā2=ā 
λ1 ∙ē1+ λ2 ∙ē2= λ ∙ē 
λ1 ∙ē1+ λ2 ∙ē2= λ ∙ē |: λ≠0
ē= 
∙ē1+ 
∙ē2=ē1+ē2 
=1 и 
=1
λ1=λ2 = λ ā1= λ ∙ē1 , ā2= λ ∙ē2 , ā= λ ∙ē.
Для проективной плоскости Р2 рассмотреть самостоятельно (по аналогии). □
Определение: Базисы ē1 , ē2 , ē3 и ā1 , ā2 , ā3, такие, что ēi=λ āi называются гомотетичными.
Координаты точки на прямой (плоскости)
Рассмотрим P1 и R (Е1 , Е2 , Е) - проективный репер на прямой
Пусть ē1 , ē2 , ē - согласованная система векторов и пусть точка М 
P1 порождается вектором 
.
Векторы ē1 , ē2 – базисные, тогда = х1 ∙ ē1+х2 ∙ ē2.
Определение: Набор чисел (х1 , х2 ) называется координатами точки в данном репере.
Вектор 
= λ ∙ =λ ∙х1∙ē1+ λ ∙х2∙ē2 - определяет ту же точку М.
Тогда, точка М определяется набором или (х1 , х2) или (λ ∙х1 , λ ∙х2).
Вывод: Координаты точки определены с точностью до постоянного множителя (до пропорциональности).
Обозначение: М (х1 : х2 ) или 
.
На проективной плоскости координаты определяются аналогично:
Обозначение: М (х1 : х2: х3) или 
.
Замечание: Числа х1 и х2 (для плоскости - х1, х2, х3) одновременно не обращаются в ноль(Почему?).
Координаты точек репера на прямой будут:
вершины - Е1 
, Е2 
, единичная точка - Е 
,
на плоскости - Е1 (1: 0: 0), Е2 (0: 1: 0), Е3 (0: 0: 1), Е (1: 1: 1) (Обоснуйте).
Date: 2015-12-12; view: 2321; Нарушение авторских прав