Задача С1

Построить диаграмму Максвелла-Кремоны и определить усилия в стержнях простой плоской фермы. Используя метод сквозных сечений (метод Риттера), провести контрольный расчёт для 5-6 стержней. Схемы ферм даны на рисунках С1.0-9. Числовые значения нагрузок, линейные и угловые размеры содержатся в таблице С1.1. Для всех вариантов размер = 2метра.

Таблица С1.1

Номер	условия
	кН
	кН
	кН
	град

Краткие сведения из теории и примеры. При перекрытии больших пролётов, в буровых вышках, опорах линий электропередачи часто применяются сквозные стержневые конструкции – фермы. Фермой называется жёсткая конструкция из стержней, соединённых собой на концах. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, то ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Ферма называется простой, если имеет наименьшее возможное количество стержней при заданном числе узлов. В таких фермах число стержней К и число узлов n связаны формулой

(1)

В теоретической механике рассматриваются только простые плоские фермы.

Целью расчёта фермы является определение внутренних усилий, возникающих в стержнях под действием заданной нагрузки. При этом исходят из следующих предположений:

1. Внешние силы приложены только в узлах фермы;

2. Стержни прямолинейные и абсолютно твёрдые;

3. Весом стержней пренебрегают или располагают по узлам;

4. Узлы представляют собой идеальные шарниры.

При этих условиях на каждый стержень будут действовать две силы, направленные вдоль стержня.

Пример С1. Проверить ферму, представленную на рисунке С1.10, на простоту и найти реакции внешних связей, если

Решение. Ферма АВСD простая, т. к.. выполняется условие (1). Здесь число стержней К = 11 (опорный стержень ВЕ к ферме не относится), число узлов n = 7, значит, 11 = 2 · 7 - 3.

Рис. С1.0-3

Рис. С1.4-7

Рис. С1.8-9

Для определения реакций внешних связей применим к ферме АВСD принцип освобождаемости от связей (аксиому связей). Неподвижный шарнир А заменяем двумя составляющими и ,а опорный стержень ВЕ реакцией , направленной вдоль стержня (рис. С1.11).

Для плоской системы внешних сил, приложенных к ферме, составляем три уравнения равновесия:

; ; ; ; .

Решая эту систему уравнений, получим:

; ; .
Рис. C1.10		Рис. C1.11

При заданных величинах сил , и угла a имеем: = 1,135 кН, = -7,4 кН, = 7,9 кН. Чтобы убедиться в правильности подсчета реакций внешних связей, нужно составить проверочное уравнение равновесия для фермы, например:

(2)

Если при подстановке найденных и равенство (2) будет справедливо, то эти реакции найдены верно. Проверим:

2 + 1,135·2 - 7,4 /3 = 0; или 2 + 2,27 - 4,27 º 0.

Для проверки значения можно составить другое проверочное уравнение, например: .

Убедившись в правильности подсчета реакций связей, можно приступить к определению внутренних усилий в стержнях фермы (расчету фермы).

Диаграмма Максвелла-Кремоны (графический расчёт)

Этот способ был разработан английским учёным-физиком Максвеллом в 1864 году и независимо от него итальянским математиком Кремоной в 1872 г.

Для построения диаграммы нужно осуществить следующие операции:

1. Подсчитать аналитически реакции внешних связей фермы.

2. Построить строго в масштабе ферму, точно откладывая углы.

3. Расставить внешние силы вне контура фермы.

4. Обозначить заглавными буквами внешние области фермы, заключённые между линиями действия внешних сил и внешним контуром фермы. Обозначить заглавными буквами внутренние области, заключённые между стержнями фермы.

5. Построить в масштабе многоугольник внешних сил, откладывая силы в том порядке, в каком они встречаются при обходе фермы против хода часовой стрелки (можно и по ходу часовой стрелки, но тогда следует придерживаться этого правила до конца построения диаграммы). При этом каждый вектор силы обозначается по концам малыми буквами, соответствующими обозначениям областей, между которыми лежит эта сила (стрелки не изображаются).

6. Вырезая (мысленно) узлы фермы, строить многоугольник сил в стержнях на базе многоугольника внешних сил.

7. С готовой диаграммы снимаются величины усилий в соответствующих стержнях фермы.

В качестве примера построим диаграмму Максвелла-Кремоны для рассмотренной ранее фермы (рис. С1.10) с теми же условиями нагружения. Проделаем все 7 указанных операций.

1. Реакции внешних связей фермы уже найдены ранее: = 1,135 кН, = - 7,4 кН, = 7,9 кН.

2. Ферма построена в масштабе (рис. С1.12).

3. Внешние силы , , , , построены вне контура фермы.

4. Внешние области фермы обозначены заглавными буквами E, J, G, M, O, обведеными окружностями, чтобы отличать их от узлов.

5. Внутренние области фермы - P, R, Q,T, S. - буквы обозначения также обведены окружностями.

6. Построение многоугольника внешних сил можно начать с любой силы, например, с . Из любой точки плоскости строим отрезок, параллельный вектору , в масштабе 1 кН/см. Этот отрезок обозначим gm в соответствии с обозначениями граничащих с силой областей G и M (при обходе фермы против часовой стрелки силу пересекаем, выходя из области G в область M, поэтому начало вектора g, а конец m; стрелки не изображаются).

Обходя ферму против хода часовой стрелки, встречаем силу , лежащую между областями M и O. На рис. С1.13 из точки m строим отрезок mo, равный 1 см (в принятом масштабе) и параллельный (начало вектора в m, конец в o). Затем выстраиваем отрезок oe, соответствующий силе , за ним - отрезок ej, соответствующий силе (направляем вниз из e в g, т.к. величина отрицательна) и отрезок jg, соответствующий силе . Силовой многоугольник gmoejg должен быть замкнут, т.е. конец последнего отрезка ig должен прийти в точку g, с которой начиналось построение.

	Рис. С1.12	Рис. С1.13

Вырезаем первый узел, содержащий только два стержня, например, A и строим многоугольник сил , , , , в порядке, как они встречаются при обходе узла против хода часовой стрелки. Отрезки ej и jg для сил и , уже построены. Искомым силам и должны соответствовать отрезки gp и pe, т.к. при обходе узла переходим через стержень 2 из внешней области G во внутреннюю область P, а через стержень 1 - из области P во внешнюю область E. Точки g и e на диаграмме есть, ищем точку p. Для этого из точек g и e проводим линии, параллельные стержням 2 и 1, до взаимного пересечения; получим точку p. Если отрезки gp и pe заменить векторами (от g к p, от p к e) и наложить эти векторы на соответствующие стержни, приходящие к узлу А, то они будут направлены от узла; значит, усилия в стержнях растягивающие и имеют положительные знаки (см. табл. С1.2). Стрелки на диаграмме не ставятся, т.к. в узлах, находящихся на концах одного стержня направления векторов силы противоположны.

Обращаясь к узлу К, обходим его также против хода часовой стрелки в порядке G, R, P. Искомые силы и . Используя уже имеющиеся на диаграмме точки g и p, ищем точку r. Для этого из g проводим линию, параллельную стержню 6, а из p - линию, параллельную стержню 3; они пересекаются в точке p. Значит, здесь же будет и искомая точка r, а длина отрезка pr, соответствующего силе , равна нулю ( = 0).

Вырезаем узел В и обходим его в порядке E, P, R, Q, O. Искомые силы и . Точки e, p, r, o на рис. 6 уже есть, ищем точку q. Для этого из точек r и o проводим линии, параллельные исследуемым стержням 5 и 4, до взаимного пересечения. Это и будет точка q. Отрезок rq соответствует силе , а qo - . Причём мысленные направления стрелок этих отрезков - к узлу В, значит, усилия в этих стержнях сжимающие (отрицательные).

Продолжая такое построение для всех узлов фермы, мы должны получить замкнутую диаграмму Максвелла-Кремоны (рис. С1.12). Практически же часто диаграмма не замыкается вследствие накопления ошибок при построении. При наличии небольшой «невязки» (погрешности) её устраняют, перенося вершины диаграмм так, чтобы усилия при этом изменялись не более, чем на 5 % своей средней величины. При наличии больших ошибок диаграмму следует перестроить.

7. Замеряя отрезки на диаграмме и учитывая принятый масштаб сил, можно найти значения всех усилий в соответствующих стержнях фермы и свести их в таблицу С1.2.

Таблица С1.2

Усилия
Отрезок на диаграмме	pe (ep)	gp (pg)	rp (pr)	qo (oq)	ro (or)	gr (rg)	qt (tq)	tm (mt)	st (ts)	gs (sg)	ms (sm)
Значения усилий в кН	+ 2,25	+ 5,45		- 4,0	- 2,27	+ 5,5	- 0,85	- 3,47	+ 4,0		- 2,0

 

Метод сквозных сечений (метод Риттера) Метод сквозных сечений - аналитический метод. Применение этого метода позволяет найти усилие в любом стержне фермы независимо от усилий в остальных стержнях. Для этого нужно суметь составить такое уравнение равновесия, чтобы в нём содержалось, кроме внешних известных сил, только одно усилие в стержне, а именно искомое.

Чтобы достичь этой цели, нужно сделать операции:

1. Определить реакции внешних связей для всей фермы.

2. Мысленно рассечь ферму на две части так, чтобы был разрезан исследуемый стержень, и чтобы по обе стороны сечения было не менее двух узлов (иначе операция сведётся к вырезанию узла).

3. Одну часть фермы нужно отбросить, а другую (менее громоздкую) оставить для рассмотрения.

4. Действие отброшенной части фермы заменить реакциями рассечённых стержней, направленными от рассматриваемой части (считаем условно все усилия в стержнях растягивающими).

5. Составить такое уравнение равновесия для рассматриваемой части, чтобы в него входило только одно усилие, а именно искомое. Поэтому в большинстве случаев составляются моментные уравнения равновесия. В качестве центров моментов сил выбираются так называемые точки Риттера. Точка Риттера - это точка пересечения осей всех рассечённых данным сечением стержней, кроме одного, исследуемого.

Если рассечены 3 стержня, то можно составить уравнения равновесия в 3-ей форме: ; , где точки Риттера E, M, N не лежат на одной прямой. Тогда можно определить усилия во всех 3-х рассечённых стержнях.

В частном случае, когда из 3-х рассечённых стержней два взаимно параллельны, составляются уравнения равновесия во 2-ой форме: ; , где ось z должна быть перпендикулярна к двум параллельным стержням.

6. Из составленных уравнений определить усилия в исследуемых стержнях.

Замечание: если рассечено более 3-х стержней, то возможны следующие случаи: А. Можно найти только одну точку Риттера и составить только одно уравнение равновесия, соответствующее требованиям метода сквозных сечений, Б. Ни одной точки (такое сечение не годится).

7. Для определения усилий в других стержнях фермы требуется проводить новые сечения и осуществлять операции 1-6.

Пример: Рассчитать методом сквозных сечений ферму, представленную на рис. С1.10, с теми же условиями.

1. Реакции внешних связей найдены ранее: = 1,135 кН, =- 7,4 кН, = 7,9 кН.

2. Пусть требуется найти усилия в стержнях 1, 3 и 6. Проводим сечение 1-1, рассекающее эти стержни (рис. С1.14).

3. Отбрасываем мысленно верхнюю часть фермы, а нижнюю, более простую, вычерчиваем вместе с внешними силами и .

Для удобства заполним таблицу С1.3, опустив промежуточные расчёты.

4. Рассечённые стержни 1, 3 и 6 заменим их реакциями , и , направленными от узлов А и К.

5. Так как, рассечено только 3 стержня и все стержни взаимно не параллельны, то можно составить 3 моментных уравнения равновесия (3-я форма). Точками Риттера будут точки: А (пересечение и ), К (пересечение и ), В (пересечение и ).Если провести сечение 2-2, т.е. рассечь 4 стержня (2, 3, 4, 5), то можно обнаружить только одну точку Риттера - В (пересечение стержней 3, 4 и 5). Значит можно составить только одно уравнение равновесия и найти одно усилие (см. замечание к п. 6 и таблицу С1.3).

Рис. С1.14

Для определения усилий , и проведём сечение 3-3 (см. рис. С1.14), пересекающее три стержня: 8, 9 и 10. Заметим, что стержни 8 и 10 взаимно параллельны. Учитывая рекомендации п. 3 составляем 3 уравнения равновесия во 2-ой форме (см. табл. С1.3). Чтобы найти усилие , можно рассечь стержни 4, 7, 9 и 11. Единственной точкой Риттера будет точка С пересечения всех рассечённых стержней, кроме стержня 7. Сечение, пересекающее стержни 1, 3, 5, 7, 9 и 11 не годится, т.к. нет ни одной точки Риттера. Действуя по предложенной схеме, можно подсчитать усилия во всех стержнях рассматриваемой фермы

. Основным достоинством метода Риттера является возможность автономного определения усилий. В отличие от ранее рассмотренных методов этот метод не приводит к накоплению ошибок. Однако, есть фермы, в которых не все стержни могут быть рассчитаны методом Риттера.

Расчёт фермы с помощью метода вырезания узлов может быть реализован на компьютере. При отсутствии такой все усилия в стержнях фермы определяются из диаграммы Максвелла-Кремоны, а метод Риттера используется для контроля правильности полученных результатов.

Таблица С1.3

Сечение	Схема нагружения рассматриваемой части фермы	Уравнения равновесия для рассматриваемой части фермы	Значения усилий, кН
1-1		; ; ; ; ; .	= 0 = 2,27 = 5,44
2-2		; .	= 5,44
3-3		; ; ; ; ; .	= 4,0 = 0 =-3,47
и т.д.