Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Кинематика





Задача К1

 

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0 – К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f2 (t), y = f2 (t), где х и у выражены в сантиметрах, t в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1 =1с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x = f1 (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y = f2 (t) дана в табл. К1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4).

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовыхкоординатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорение точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = 1c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:

cos2a = 1 – 2sin2a =2cos2α –1,

sin2a = 2sina× cos a

 

Рис. К1.0-9

 
 

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

;

(х,у – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1 с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения время t.

Таблица К1

№ условия У = f2 (t)
Рис. 0 – 2 Рис. 3 - 6 Рис. 7 - 9
       
 
 
 
 
 
 
 
 
  2t3
 

Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

следовательно,

Откуда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис. К1):

Х = (у+1)2 +1. (2)

2. Скорость точки найдем по ее

проекциям на координатные оси:

Рис. К1

и при t =1c

(3) Рис. К1.10

3. Аналогично найдем ускорение точки:

и при t = 1c

(4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство

Получаем

(5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив сюда эти числа, найдем сразу, что при t1 =1c, a1t =0,66см/c2.

5. Нормальное ускорение точки Подставляя сюда найденные числовые значения a1 и a1t, получим, что при t1 = 1с, a1n = 0,58 см/c2.

6. Радиус кривизны траектории r =u 2/an. Подставляя сюда числовые значения u1 и a1n, найдем, что при t1 = 1c r1 = 3,05см.

О т в е т: u1 = 1,33см/c, a1 = 0,88cм/c2, a1t = 0,66cм/c2, a1n =0,58см/c2, r1= =3,05cм.

 

Задача К2

Плоский механизм состоит из: колёс 1, 2 и 3, планки 4 и груза 5. Диски и груз соединены между собой нерастяжимыми нитями. Диски, касающиеся планки, при движении механизма не проскальзывают.

Схемы механизмов показаны на рис. К2.0-9, необходимые для расчёта данные помещены в таблице К2.

Таблица К2

Дано Найти
№ условия уравнение движения груза скорости ускорения
  см см см см см с    
            , , ,
            , , ,
            , , ,
            , , ,
            , , ,
            , , ,
            , , ,
            , , , ,
            , , ,
            , , ,

По заданному направлению поступательного движения груза 5 определить в заданной момент времени угловые скорости и ускорения тел и линейные скорости и ускорения точек, указанных в таблице К2.


Указания. Студенту при решении задач следует учесть следующее. 1. Что скорости точек контакта тел, находящихся в зацеплении, равны между собой. 2. Два вращающихся тела связаны нерастяжимой ременной передачей, и скорости точек ремня равны скоростям соприкасающихся с ним точек тел. 3. Тело 1 представляет собой ступенчатое колесо с радиусами: - большой ступени, - малой ступени

 


Рис. К2.0-9

Пример К2. Груз 5 подвешен на нерастяжимой нити, намотанной на большую ступень колеса 1. Движение груза задано уравнением: . Колеса 1 и 3 связаны нерастяжимой ременной передачей, как показано на рис. К2.10. Между колесом 2 и малой ступенью колеса 1 зажатая рейка 4, которая движется в горизонтальных направляющих. Радиусы колёс: см, см, см..

Рис. К2.10 Определить скорости точек и Е , , ускорения точки Е и рейки 4 , , а также угловую скорость колеса 1 и угловое ускорение колеса 2 в момент времени = 2 с. Решение Обозначим точки контакта взаимодействующих тел через K, L, M, D, E. Груз 5 опускаясь приводит во вращательное движение колесо 1. Скорость точки K контакта колеса и нити равна скорости груза, т. е. . Вектор скорости направлен в сторону увеличения координаты , вектор - по касательной к окружности радиуса . Искомая угловая скорость колеса 1 - .

Чтобы определить скорость точки колеса 3, отметим, что , а . Векторы и направлены по касательным к окружностям радиусов и соответственно.

Зубчатая рейка 4 связана с колесом 2 и 1, как показано на рисунке К2.10, и движется в направляющих поступательно. Линейные скорости точек , ободов колес и точек планки равны между собой, т.е. . Но , следовательно, . Вектор направлен вдоль направляющих в сторону движения планки.

Ускорение планки . Если положительно, то направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости , если отрицательна, то вектор направлен в сторону, обратную направлению .

Тогда, угловая скорость колеса 2 , а угловое ускорение колеса . Скорость точки равна скорости точки , т. е. . Вектор направлен по касательной к окружности радиуса . Линейное ускорение модуль ускорения

Таким образом .

Вектор направлен по касательной к окружности радиуса , вектор - по радиусу к центру окружности , вектор - по диагонали параллелограмма, построенного на векторах , .

Подставляя в найденные аналитические выражения заданное значения параметра с, получим: =5рад /с; =15см/с; =15см/с2; =3рад/с2; =15см/с; =47,1см/с2; =15см/с2; =45см/с2.

Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползунов В и Е (рис. К3.0.–7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис К3.8-9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно: l1 =0,4м, l2 = 1,2 м, l3 =1,4м, l4 = 0,6м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3.1 (для рис. К3.0 –4) или в табл. К3.2 (для рис. К3.5–9). Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».


Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. К2.8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. К2.9 – против часовой стрелки).

 

 

 
 

Рис. К3.0-9

 

Таблица К3.1 (к рис. К3.0-К3.4)

Номер условия Углы, градусы Дано Найти
a b g j q w1 рад/с w2 рад/с Скорости точек w звена
              - В,Е DE
            -   A,E AB
              - B,E AB
            -   A,E DE
              - D,E AB
            -   A,E AB
              - B,E DE
            -   A,E DE
              - D,E AB
            -   A,E DE

 

Таблица К3.2 (к рис. К3.5-К3.9)

Номер условия Углы, градусы Дано Найти
a b g j q w1, рад/с uВ, м/с Скорости точек w звена
              - B,E AB
            -   A,E DE
              - B,E AB
            -   A,E AB
              - B,E DE
            -   D,E DE
              - B,E DE
            -   A,E AB
              - B,E DE
            -   D,E AB

 

Указания. Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки, а заданную скорость - от точки В к в (на рис. К3.5 –.9).

Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.


Пример К3. Механизм (рис. К3.10) состоит из двух стержней 1,2,3,4 и ползуна В, соединенных друг с другом и неподвижными опорами О2 и О2 шарнирами.

Дано: a = 60 0, b =150 0, g = 90 0, j = 30 0, q = 30 0, AD = DB, l1= 0,4 м, l2 = 1,2 м, l3 = 1,4 м, w2 = 2 рад/c (направление w1 – против хода часовой стрелки). Определить: VВ, VЕ, ω2.

Решение.

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К2.11); на этом рисунке изображаем все векторы скоростей.

2. Определяем . Точка В принадлежит стержню 3. Чтобы найти , надо знать скорость, какой – либо другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление , можем определить ; численно

(1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит и ползуну B, движущемуся вдоль направляющих поступательно.

Рис. К2.10 Рис. К2.11

 

       
   
 

Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню 2. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня 3; это точка С 3, лежащая на пересечении перпендикуляров к , восстановленных из точек А и В перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня 3 вокруг МЦС С 3. Вектор перпендикулярен отрезку С3 D, соединяющему точки D и С3, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

. (3) 7

Чтобы вычислить C3 D и C3 B, заметим, что ∆ АС3 В – прямоугольный, так что острые углы в нем равны 30 0 и 60 0, и что С3В = АB sin 30 0 = 0,5 AB =BD.

Тогда ∆ ВС3 D является равносторонним и С3 В = С3 D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг О2, то . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям , построим МЦС С2 стержня 2. По направлению вектора определяем направление поворота стержня 2 вокруг центра С2. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К2.11 видно, что С2ED = C2DE =30 0, откуда С2Е = C2D.

Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка С2) и С2D = l2 / (2cos30 0) = 0, 69 м, то

. (6)

Ответ: VB = 0,46 м /c; VЕ = 0,46 м / с; ω2 = 0,67 рад / c.

(1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит и ползуну B, движущемуся вдоль направляющих поступательно.

Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню 2. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня 3; это точка С 3, лежащая на пересечении перпендикуляров к , восстановленных из точек А и В перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня 3 вокруг МЦС С 3. Вектор перпендикулярен отрезку С3 D, соединяющему точки D и С3, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

. (3)

Чтобы вычислить C3 D и C3 B, заметим, что ∆ АС3 В – прямоугольный, так что острые углы в нем равны 30 0 и 60 0, и что С3В = АB sin 30 0 = 0,5 AB =BD.

Тогда ∆ ВС3 D является равносторонним и С3 В = С3 D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг О2, то . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям , построим МЦС С2 стержня 2. По направлению вектора определяем направление поворота стержня 2 вокруг центра С2. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что С2ED = C2DE =30 0, откуда С2Е = C2D.

Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка С2) и С2D = l2 / (2cos30 0) = 0, 69 м, то

. (6) Ответ: VB = 0,46 м /c; VЕ = 0,46 м / с; ω2 = 0,67 рад / c.

 

 







Date: 2015-12-13; view: 991; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.046 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию