Динамика частиц

«Пример 3.1. Груз массой m = 10 кг, подвешенный к тросу длиной l = 2 м, совершает колебания согласно уравнению j = (p / 6) sin (2 p t), где j – угол отклонения троса в радианах, t – время в секундах. Определить силы натяжения T₁ и T₂ троса при самом низком и самом высоком положениях груза.

Решение.

Свободные колебания подвешенного груза происходили бы с циклической частотой w₀ = » c^–2. В данном же случае речь идет о колебаниях, для которых эта частота составляет w₀ = 2 p» 6 с^–2. Такие колебания могут быть только вынужденными, обусловленными некоторой периодической силой. Эта сила должна быть направлена перпендикулярно тросу, чтобы непосредственно не влиять на его натяжение.

Для нижнего положения груза (j = 0, или sin(2 p t) = 0) уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление троса имеет вид

m a _n = T₁ – m g, (3.1)

где a _n = – центростремительное ускорение. Таким образом получим:

T₁ = m g + m ² l = m g + m p⁴ l / 9,

или T₁ = m (g + p⁴ l / 9)» 3,1·10² Н.

Для самого высокого положения груза уравнение, аналогичное (3.1), имеет вид

T₂ – m g cos j_m = 0. (3.2)

Нормальное ускорение равно нулю, поскольку в нуль обращается , а
j_m = p / 6 в соответствии с заданным в условии уравнением движения. Таким образом, получим из (3.2)

T₂ = m g cos (p / 6)» 85 Н.

«Пример 3.2. Тело массой m движется в однородном поле тяжести при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости. В начальный момент времени скорость тела равна v₀ и направлена под углом a к горизонту. Найти временные зависимости проекций скорости и координат тела.

Решение.

Для описания движения тела применим второй закон Ньютона. К телу приложены две силы: сила тяжести, направленная вертикально, и сила сопротивления, направленная против скорости (рис. 23). В вертикальной плоскости, содержащей и m , должно лежать и ускорение, а, следовательно, и траектория. В плоскости траектории целесообразно выбрать систему декартовых координат z 0 y (рис. 23) для определения положения тела. В проекциях на указанные координатные оси уравнения второго закона Ньютона имеют вид

m = – k , (3.3)

m = – m g – k . (3.4)

Рис. 23

Здесь k – коэффициент сопротивления.

Первые интегралы уравнений (3.3) и (3.4) находятся методом разделения переменных:

= – ; = – .

При интегрировании учтены начальные условия

ê_t=0 = v₀ cos a и ê_t=0 = v₀ sin a.

Так получаем:

= v₀ cos a exp (– k t / m), (3.5)

= – m g / k + (v₀ sin a + m g / k) exp (– k t / m). (3.6)

Интегрирование уравнений (3.5) и (3.6) с начальными условиями y = 0 и
z = 0 при t = 0 дает кинематические уравнения

y = (m / k) v₀ cos a (1 – exp (– k t / m)), (3.7)

z = (m / k) (v₀ sin a + m g / k) (1 – exp (– k t / m)) – m g t / k. (3.8)

Детальный анализ полученных уравнений удобно проводить с помощью компьютера (см. задачи (3.8) и (3.9).). Здесь же запишем приближенные выражения, которые получаются из (3.7) и (3.8) при k t / m << 1, то есть при достаточно малом сопротивлении. Можно ограничиться первыми членами разложения:

exp (– k t / m)» 1 – k t / m + (k t / m)² / 2. (3.9)

Подставляя (3.9) в (3.7) и (3.8) и пренебрегая величиной k t / m по сравнению с единицей, получим

y» v₀ t cos a; z = v₀ t sin a – g t² / 2.

Именно эти выражения используются а школе в качестве кинематических уравнений движения частицы в однородном поле тяжести. Видим, что они правильно описывают движение при условии k t / m << 1.

«Пример 3.3. В момент раскрытия парашюта вертикальная составляющая скорости падания парашютиста равна v₀. Парашютист испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное первой степени скорости. Определить вертикальную составляющую скорости парашютиста в зависимости от предельной скорости v_П и времени t.

Решение.

Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось x, направленную вертикально вниз:

m = m g – k . (3.10)

Здесь m – масса парашютиста, g – ускорение свободного падения, k– коэффициент сопротивления. Решим это уравнение относительно переменной v:= :

m = m g – k v Þ = . (3.11)

Пределы интегрирования в (3.11) определяются начальными условиями. Подобный прием интегрирования дифференциальных уравнений движения позволяет автоматически исключать произвольные постоянные.

Вычислив интегралы в (3.11) и произведя потенцирование, получим:

v = v_п – (v_п – v₀) exp (– k t / m), (3.12)

где v_п = m g / k. (3.13)

Именно к значению v_П стремится скорость v при t ® ¥. Поэтому v_П естественно называть предельной скоростью. Практически v» v_П, когда
k t / m приблизительно достигнет значения 2 ¸ 3. Величину предельной скорости находят и в школе из условия, что сила сопротивления k v_П уравновешивается силой тяжести m g.