Задачи для самостоятельного решения. · Задача 1.1.По данным уравнениям движения частицы (величины заданы в единицах СИ) найти ее траекторию в плоскости xoy и начальное положение

· Задача 1.1. По данным уравнениям движения частицы (величины заданы в единицах СИ) найти ее траекторию в плоскости xoy и начальное положение. Нарисовать эту траекторию и указать направление движения частицы в начальный момент времени.

а) x = 3 cos t; y = 3 – 5 sin t.

б) x = a (sin (k t) + cos (k t)); y = b (sin (k t) – cos (k t)).

в) x = a + r cos (w t); y = r sin (w t).

г) x = 2 sin (t²); y = 3 cos (t²).

д) x = 3 t; y = 6 t – 5 t².

е) x = 3 tg (t / 2); y = cos t. (t < p).

ж) x = 4 sin (2 t); y = 2 cos t. (t < p).

з) x = 2 tg (t / 2); y = 3 sin t.

Рис. 5

и) К*). x = x₀ sin(2 p t / T + j₀); y = y₀ sin(2 p n t / T). Константы x₀, y₀, T – положительные числа, n – целое число. Исследовать движения при:
n = 1, j₀= p / 4; n = 2, j₀= p / 2; n = 3, j₀= p / 4. Можно воспользоваться файлом «X(t)Y(t)».

· Задача 1.2. Изображенная на рисунке 5 кулиса OM длиной l приводится в движение кривошипом O₁A, угол поворота которого j = k t
(k – постоянная). Определить скорость v и ускорение w точки M, если
O₁O = O₁A..

Ответы: v = k l / 2; w = k² l / 4.

· Задача 1.3. Самолет равномерно набирает высоту, поднимаясь на высоту h = 7,00 км за время
t = 1 мин 40 с и движется при этом со скоростью v = 900 км/ч по винтовой линии, расположенной на вертикальном цилиндре радиусом R =10 км. За самолетом следит луч радиолокатора, помещенного на оси винтовой линии. С какой быстротой должен при этом изменяться угол поворота антенны вокруг вертикальной оси?

Ответ: = » 2,4·10^–2 с^–1.

· Задача 1.4. Движение частицы задано кинематическими уравнениями в полярных координатах: r = r₀ exp (at), j = at, где a и r₀ – постоянные. Найти траекторию и для произвольного момента времени t скорость v, ускорение и радиус кривизны траектории R.

Ответы: Траектория – логарифмическая спираль;

v = a r ; = 2 a² r ; R = r .

· Задача 1.5 Ш. На горе с уклоном a = 30 ⁰ бросают мяч с начальной скоростью v₀ = 9,8 м/с перпендикулярно склону горы. Найти время t полета мяча. На каком расстоянии s от точки бросания упадет мяч?

Указание: Решить задачу методом нахождения проекций перемещения, а также методом декартовых координат.

Ответы:

t = 2 v₀ / (g cos a)» 2,3 с; s = 2 v₀² sin a / (g cos²a)» 13 м.

Рис. 6

· Задача 1.6. Два стержня OA и O₁B (рис. 6), соединенные крестообразным ползуном D, могут вращаться вокруг точек O и O₁, соответственно, образуя между собой все время угол 90⁰. Определить скорость v и ускорение w точки D, если OO₁ = a, угол j = k t, где k– постоянная, а t – время.

Ответы:

v = a k; w = 2 a k².

· Задача 1.7 К. Колесо электровоза, движущегося со скоростью v = 10 м/с, имеет радиус R = 1 м. Получить траекторию точки, лежащей на расстоянии 0,5 м от оси колеса. Считая, что в начальный момент времени точка находилась в нижнем положении, указать на траектории место ее нахождения по прошествии времени t = 0,1 с; 0,2 с; 0,4 с;
0,5 с; 0,6 с. Для тех же моментов найти скорость рассматриваемой точки.

Указания.

1. Задача сводится к анализу следующих кинематических уравнений:

x = 10 t – 0,5 sin (10 t), y = 1 – 0,5 cos (10 t). Получите их.

2. Для анализа полученных кинематических уравнений используйте файл «X(t)Y(t)».

3. Зарисуйте траектории с монитора, указав на рисунке значения координат искомых точек.

4. Запишите найденные для различных моментов времени скорости в виде таблицы.

· Задача 1.8 Ш. Поезд, двигаясь под уклон, прошел за время t =
20 с путь s = 340 м и развил скорость v = 19 м/с. С каким ускорением a двигался поезд, и какова была его скорость v₀ в начале уклона?

Ответы:

a = 2 (v – s / t) / t = 0,2 м/с; v₀ = 2 s / t – v = 15 м/с.

· Задача 1.9 Ш. Мяч бросают горизонтально со скоростью v₀ =
14 м/с с горы, составляющей угол a = 45⁰ с горизонтом. На каком наибольшем расстоянии h от поверхности горы окажется мяч во время полета? На каком расстоянии s от точки бросания он приземлится?

Ответы:

h = v₀² sin a tg a / (2 g)» 7,1 м; s = 2 v₀² tg a / (g cos a)» 57 м.

· Задача 1.10 Ш. Определить скорость v и ускорение a, которым обладают точки земной поверхности в Смоленске за счет суточного вращения Земли. Географическая широта Смоленска j = 55⁰.

Ответы:

v = (2 p / T) R cos j» 2,6 · 10² м/с; a = (4 p² / T²) R cos j» 1,9 · 10^–2 м/с² .

· Задача 1.11 Ш. C аэростата, опускающегося со скоростью u, бросают вертикально вверх тело со скоростью v₀ относительно Земли. Какое будет расстояние l между аэростатом и телом к моменту наивысшего подъема тела относительно Земли? Каково наибольшее расстояние l _m между телом и аэростатом? Через сколько времени t от момента бросания тело поравняется с аэростатом?

Ответы:

l = (v₀² + 2 u v₀) / g; l _m = (u + v₀)²/ (2 g); t = 2(u + v₀) / g.

· Задача 1.12 Ш. Зенитная ракета стартует с поверхности Земли с постоянным ускорением a и через время t падает на Землю. Сколько времени t работал двигатель?

Ответ: t = t (1 – .

· Задача 1.13. Изображенная на рисунке 5 кулиса OM длиной l приводится в движение кривошипом O₁A, вращающимся по закону j = k t² (k – постоянная.) Составьте кинематические уравнения, описывающие движение конца кулисы M, если O₁O = O₁A.

Ответ: x = l sin (k t² / 2);

y = l cos (k t² / 2).

· Задача 1.14. На проволочной окружности радиуса R = 10 см надето колечко M (рис. 7). Через него проходит стержень OA, который равномерно вращается вокруг точки O, лежащей на той же окружности. Угловая скорость w стержня такова, что он поворачивается на прямой угол за время
t = 5 с. Определить скорость v и ускорение w колечка.

Рис. 7

Ответы:

v = p R / t = 2 p см/c;

w = p² R / t² = 0,4 p² см/c².

· Задача 1.15. Кривошип OA (рис. 8) вращается с постоянной угловой скоростью w = 10 c^–1. Длина OA = AB = l = 80 см. Найти траекторию средней точки M шатуна AB, а также ускорение w ползуна B в момент времени, когда угол j = 0.

Рис. 8

Ответ: w = 2 l w² = 1,6 · 10² м/с² .

· Задача 1.16. В кривошипно-шатунном механизме, показанном на рисунке 8, AO = AB = 60 см, MB = AB / 3, j = 4 p t, где t – в секундах. Найти скорость v, ускорение w и радиус R кривизны траектории точки M в начальный момент времени.

Ответы: v = 80 ·p cм/с; w = 1600·p² cм/с²; R = 4 cм.

· Задача 1.17 Уравнения движения частицы в декартовой системе координат имеют вид

x = a cos (k t), y = a sin (k t), z = n t.

По какой траектории движется частица? Найдите скорость и ускорение частицы в цилиндрической системе координат.

Ответы: = k a _j + n _z, = – a k² _r.

· Задача 1.18. Точка движется по окружности радиуса R = 10 см согласно уравнению s = 20 p t² (s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить тангенциальное w_t и нормальное w_n ускорения точки после того, как она один раз обойдет всю окружность.

Ответы: w_t = 40 p; w_n = 160 p².

· Задача 1.19. Движение точки задано в цилиндрических координатах уравнениями r = 2, j = t² / 2, z = t³ / 3. Все величины выражены в единицах СИ. Определить радиус R кривизны траектории в момент времени
t = 1,0 с.

Ответ: R = 2,3 м.

· Задача 1.20. Частица движется по окружности радиусом R равноускоренно из состояния покоя и совершает первый полный оборот за время T. Определить скорость v и ускорение w частицы в конце этого промежутка времени.

Ответы: v = 4 p R / T; w = (4 p R / T²) .

Рис.9

· Задача 1.21. Тело брошено со скоростью v₀ под углом a к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти радиус кривизны траектории в момент возвращения тела к горизонтальной плоскости, в которой оно находилось в момент броска.

Ответ: R = v₀² / (g cos a).

· Задача 1.22. В кулисном механизме, изображенном на рис. 9, определить угловую скорость w и угловое ускорение b кулисы OC в момент, когда угол j = 45⁰, если штанга AB движется с постоянной скоростью v, а ползун A скользит вдоль OC. Расстояние от оси вращения O до штанги AB равно l.

Ответы:

w = v cos² (j) / l = v / (2 l);

b = – v² cos²(j) sin (2j) / l ² = – v² / (2 l ²).

· Задача 1.23. Цепная передача велосипеда состоит из цепи, охватывающей зубчатку, приводимую в движение педалями, и шестерню, жестко связанную с задним колесом велосипеда. Зубчатка имеет z₁ = 26 зубьев, а шестерня – z₂ = 9 зубьев. Диаметр заднего колеса велосипеда D = 70 см. С какой скоростью v едет велосипедист, делающий педалями n = 1 оборот за время t = 1 секунду, если колеса катятся без проскальзывания.

Ответ: v = p n z₁ D / (z₂ t) = 22,9 км/ч.